Azətrbaycan Müəllimlər nstitutunun Şəki filialı Təbiət Elmləri və Tədtisi metodikası
Yüklə 210,42 Kb. Pdf görüntüsü
|
|
Azətrbaycan Müəllimlər nstitutunun Şəki filialı Təbiət Elmləri və Tədtisi metodikası kafedrası
Riyaziyyat-Fizika ixtisaslı tələbələr (bakalavr) üçün Nəzəri fizikanın Kvant mexanikası bölməsinə aid sual və cavablar
Tərtib edəni: fiz.-riy. elm. nam., dos. Yusif Hacıbala oğlu Şükürlü
Şə ki 2008 Kvant mexanikasından suallar.
1. Spini sıfır olan zərrəciyin dalğa funksiyasının ödədiyi və nisbilik nəzəriyyəsi ilə kvant mexanikasının tələbləırinə cavab verən Kleyn-Qordon tənliyini çıxarın. 2. ½ spinli sərbəst zərrəciyin impulsunun saxlanan kəmiyyət olduğunu göstərin. 3. Sərbəst zərrəcik üçün yazılmış ümumi Dirak tənliyini iki kompanentli şəkildə yazın. 4. ½ spinli sərbəst zərrəciyin impuls momentinin saxlanmayan kəmiyyət olduğunu göstərin. 5. Zərrəciyin tam momentinin S M
i ˆ ˆ ˆ r r r + = və onun kvadratının ( 2 i Jˆ ) saxlanan kəmiyyət olduğunu göstərin. 6. Fiziki kəmiyyətə qarşı qoyulan ermit Fˆ operator vasitəsi ilə bu kəmiyyətin orta qiymətini tapın. 7. Ermit Qˆ operatorunun məxsusi qiymətlərinin və onun qarşı qoyulduğu fiziki kəmiyyətin orta qiymətinin həqiqi olduğunu göstərin. 8. Diskret spektrə malik ermit operatorun müxtəlif məxsusi qiymətlərə uyğun məxsusi funksiyalarının ortoqnal olduğunu isbat edin. 9. Verilmiş funksiyanı onun kompleks qoşmasına çevirən Qˆ operatorunun xətti operator olmadığını göstərin. 10.
Verilmiş funksiyanı onun kompleks qoşmasına çevirən Qˆ operatorunun ermit operator olmadığını göstərin. 11.
d F =
ˆ operatorunun ermit operator olmadığını göstər. 12.
d F =
operatorunun vəxsusi qiymətini və məxsusi funksiyalarını tapmalı. 13.
Cütlük operatorunun məxsusi qiymətlərini tapın. 14.
Kvant halının dəyişməsini xarakterizə edən Şredinger tənliyini tapmalı. 15.
Stasionar hal üçün Şredinger tənliyini tap və bu halın xassələrini müəyyən et. 16.
Frans-Keldış effekti. 17.
Koordinat operatorunu impuls təsvirində tapın. 18.
( ) ≤ ≤ − = ψ − 2 a x 2 a e a 1 x p P h i 0 ) ( funksiyasını impuls təsvirində yazın. 19. Sistemin halının zamana görə dəyişvəsini Şredinger təsvirində unitar çevirmə vasitəsi ilə təsvir et. 20.
Sistemin halının zamana görə dəyişvəsini Heyzenberq təsvirində unitar çevirmə vasitəsi ilə təsvir et. 21. Spin operatorunu təyin edən Pauli operatorunu tap. 22. Pauli matpisləri vasitəsi ilə spin operatorlarını təyin et. 23. Antisimmetrik funksiyalarla xarakterizə olunan zərrəciklər sistemində hər hansı kvant halında bir zərrəcikdən artıq zərrəciyin ola bilməməsi – Pauli prinsipini, göstərin. 24.
Bircinsli maqnit sahəsində hərəkət edən yüklü zərrəciyin enerjisini tap. 25.
n halında olan xətti harmonik ossilyatorun 2 n x və potensial enerjisinin orta qiymətini tapın. 26.
Hidrogen atomu üçün Şredinger tənliyini yaz. 27.
Hidrogen atomu üçün Şredinger tənliyindən orbital kvant ədədini təyin et. 28.
Hidrogen atomunun l və m kvant ədətlərinə görə cırlaşmış hallarını təsvir elə. 1. Spini sıfır olan zərrəciyin dalğa funksiyasının ödədiyi və nisbilik nəzəriyyəsi ilə kvant mexanikasının tələbləırinə cavab verən Kleyn-Qordon tənliyini çıxarin.
Cavab: Şredinger tənliyini alanda zərrəciyin hamilton funksiyasından istifadə etmişdik. Bunun üçün həmin funksiyada impulsa qarşı impuls operatoru, enerjiyə isə enerji operatoru qoyulmuşdur. . ) r ( V m h t ih , t ih E ˆ E , ih P ˆ P ), r ( V m P E ψ ψ + ∇ − = ∂ ∂ ∂ ∂ = → ∇ − = − + = 2 2 2 2 2 r r r r r
Nisbilik nəzəriyyəsinin tələbini ödəyən, yəni Lorens çevirmələrinə nəzərən invariant olan tənlik taprmaq üçün enerji, impuls və kütlə arasında nisbilik nəzəriyyəsindən alınan münasibətlərdən istifadə edək:
4 2 2 2 + = r
Yuxarıda göstərdiyimiz əvəzləməni etsək: ψ ψ 4 2 2 2 2
m h c t ih + ∇ − = ∂ ∂ r
alarıq. Lakin operatorun kvadrat kökünün nə demək olduğunu hələ bilmədiyimiz üçün, bu ifadənin hər iki tərəfini kvadrata yüksəldək. Bu əməliyyat riyazi nöqteyi-nəzərdən tam təyin olunmuş tənliyə gətirir:
0 4 2 2 2 2 2 2 = − ∂ ∂ − ∇ r r ψ
Bu, sərbəct zərrəcik üçün Kleyn-Qordon tənliyidir.
2. ½ spinli sərbəst zərrəciyin impulsunun saxlanan kəmiyyət olduğunu göstər.
Cavab: Dirak tənliyinin Hamilton operatoru ilə komutasiyasından hərəkət inteqralları alinir ki, bunlar fiziki əhəmiyyətə malik 7 hərəkət inteqralını verir. Bu hərəkət inteqrallarından 3-ü imrulsun (impulsun koordinatlar üzərindəki proyeksiyalarının) payına düşür. ∇ −
r r
P ˆ , burada P ˆ r matris operatorudur (spinə təsir edir) və həmişə komutasiya edir. Dirak tənliyinin hamilton operatoru aşağıdakı kimidir: I – vahid matrisdir. 3 0
ρ α σ ρ α = = , r r , i σ və i ρ Dirak matrisləridir. Onda [ ] [ ] 0 2 0 = = = + j i j j i i i P ˆ P ˆ c P ˆ c P ˆ mc P ˆ c P ˆ α α α α r r . Deməli ½ spinli sərbəst zərrəciyin impulsu saxlanılan kəmiyyətdir. 3. Sərbəst zərrəcik üçün yazılmış ümumi Dirak tənliyini iki kompanentli şəkildə yazın.
Cavab: Sərbəst zərrəcik üçün Dirak tənliyi 0 2 0 = − − ψ α α mc P ˆ c E r r şə klindədir. Bu tənlikdə ə vəzləmələrini qəbul etsək, (φ – lər elektrik potensialıdır, 3 0 1 ρ = α σ ρ = α
r r
σ və
i ρ Dirak matrisləridir.) onda Dirak tənliyini belə yazmaq olar: , 0 2 2 1 2 1 2 2 1 = − − − − ϕ ϕ σ ϕ ϕ ϕ σ ϕ
P ˆ c E mc P ˆ c E r r r r
4. ½ spinli sərbəst zərrəciyin impuls momentinin saxlanmayan kəmiyyət olduğunu göstər. Cavab: Dirak tənliyinin Hamilton operatoru ilə komutasiyasından hərəkət inteqralları alinir ki, bunlar fiziki əhəmiyyətə malik 7 hərəkət inteqralını verir. Bu hərəkət inteqrallarından 3-ü imruls momentinin (impuls momentinin koordinatlar üzərindəki proyeksiyalarının) payına düşür. 2
P ˆ , r M ˆ = r r r , burada M ˆ r matris operatorudur (spinə təsir edir) və həmişə komutasiya edir. Dirak tənliyinin hamilton operatoru aşağıdakı kimidir: I – vahid matrisdir. 3 0
ρ α σ ρ α = = , r r , i σ və i ρ Dirak matrisləridir. Burada:
=
[ ] [
] [ ] [ ] 0 ≠ = = = = j ijk j i j j j i j j i i P ˆ ihc P ˆ lˆ hc P ˆ lˆ hc P c , M ˆ H ˆ M ˆ ε α α α . Eləcə də: [ ] [ ] 0 2 2 2 2 ≠ + = + + = + = ) lˆ P ˆ P ˆ lˆ ( c ih lˆ P ˆ c ih P ˆ lˆ c ih M ˆ H ˆ , M ˆ H ˆ , M ˆ M ˆ H ˆ M ˆ i k k i j ijk i k j ijk k j i ijk i i i i i α ε α ε α ε r
Beləliklə, sərbəst relyavistik zərrəciyin ya hərəkət miqdarı momentinin kvadratı, ya da onun hər hansı ox üzrə proyeksiyası saxlanmır.
5. Zərrəciyin tam momentinin S ˆ M ˆ J ˆ i r r r + = və onun kvadratının 2
Jˆ saxlanan kəmiyyət olduğunu göstər.
Cavab: Tam momentin Hamiltom operatoru ilə komutasiyası belə olacaq: [ ] [
] [ ] [ ]
0 = + = + = + =
k ijk k j ijk i i i i i P ˆ ihc P ˆ ihc H ˆ Sˆ H ˆ M ˆ H ˆ , Sˆ M ˆ H ˆ Jˆ α ε α ε
Eyni qayda ilə tam momentin kvadratı üçün də belə qərara gəlirik. [ ] [ ] [
] 0 2 = + = i i i i i Jˆ H ˆ , Jˆ H ˆ , Jˆ Jˆ H ˆ Jˆ . Deməli, tam moment və onun kvadratı saxlanır. 6. Fiziki kəmiyyətə qarşı qoyulan ermit Fˆ operator vasitəsi ilə bu kəmiyyətin orta qiymətini tapın. Cavab: Əgər təcrübədə F kəmiyyətini təyin edərkən N dəfə ölçü aparanda 1 N dəfə 1
2
2
, 3
dəfə 3
və s.
dəfə
n F qiymətini tapırıqsa, onda F -in ədədi orta qiyməti belə təyin editik:
∑ =
⋅ ⋅ ⋅ + + + = n n n n n . N N F N N F F N F N F N F 3 3 2 2 1 1
Ehtimal nəzəriyyəsinə görə F kəviyyətinin orta qiymətinə aşağıdakı ifadə uyöun gəlir:
( )
∑ ∑ ∑ = = = ∞ → ∞ → n n n n N n n n n n N . F F N N lim F N N F lim F ω
Kvant mexanikasının vacib postulatlarından olan fiziki kəmiyyətin bu və ya başqa qiymət alması ehtimalı superpozisiya prinsipindəki
⋅ ⋅ ⋅ + + + = = ∑ n n n n n a a a a ) t , r ( ψ ψ ψ ψ ψ 2 2 1 1 r
( n ψ -lər Fˆ operatorunun məxsusi funksiyalarıdır). n a əmsalları ilə təyin olunması postulatına əsasən
( )
. a F n n 2 = ω
Onda: . a a F a a F a F F mn n * m n m n mn n m * m n n n n n δ δ ∑∑ ∑ ∑ ∑ = = = 2
Diskret spektrə malik olan ermit operatorunun məxsusi funksiyalarının ( n n n F F ˆ ψ ψ = ) ortoqnallıq şərtinə görə: ( ) ( )
. r d r r n * m mn r r r ∫ = ψ ψ δ Beləliklə, ( ) ( )
( ) ∑ ∫∑ ∫ ∑∑ = = =
n n n * m m * m n * m n * m n m n r d a F r a r d r r a a F F r r r r r ψ ψ ψ ψ
= ( ) ∫ ∑ ∫∑ =
r d F ˆ r d F ˆ a r a * n n n * m m * m r r r ψ ψ ψ ψ
Deməli, əgər fiziki kəmiyyətə qarşı qoyulan operator və istənilən halı xarakterizə edən dalğa funksiyası məlumdursa, onda bu fiziki kəmiyyətin orta qiyməti bilavasitə aşaöıdakı şəkildə ifadə edilir:
( ) ( )
. r d t , r F ˆ t , r F * r r r ψ ψ ∫ =
7. Ermit Qˆ operatorunun məxsusi qiymətlərinin və ona qarşı qoyulduğu fiziki kəmiyyətin orta qiymətinin həqiqi olduğunu göstər.
Cavab: Fərz edək ki, { } n ψ funksiyaları diskret spektrə malik olan Qˆ operatorun məxsusi funksiyalarıdır: n n n q Q ˆ ψ ψ = . Kompleks qoşma * Q ˆ operatoru üçün isə
* n * n * n * q Q ˆ ψ ψ = . Ermitlik şərtinə görə ( ) ( ) r d Q ˆ r d Q ˆ * * * r r 1 2 2 1 ψ ψ ψ ψ ∫ ∫ = . Onda: r d Q ˆ r d Q ˆ n * n * n * n r r ψ ψ ψ ψ ∫ ∫ =
olar. Başqa sözlə: . q q n * n =
Eyni ilə kəsilməz spektr üçün də q q * = olar. Eləcə də, , r d Q ˆ F n * n r ψ ψ ∫ = ( )
= = ∫ r d Q ˆ F * n * n * r ψ ψ ∫ ∫ = r d Q ˆ r d Q ˆ * * r r ψ ψ ψ ψ . Yəni: ( ) * F F = .
8. Diskret spektrə malik ermit operatorun müxtəlif məxsusi qiymətlərə uyğun məxsusi funksiyalarının ortoqnal olduğunu isbat edin.
Cavab: Fərz edək ki, n q və
m q , Qˆ operatorunun müxtəlif məxsusi qiymətləridir. Onda: , q Q ˆ n n n ψ ψ =
q Q ˆ m m m ψ ψ =
. q q m n ≠
∫ ∫ = . r d q r d Q ˆ n * m n n * n r r ψ ψ ψ ψ
kinci bərabərliyin kompleks qoşmasını ( * m * m * m * q Q ˆ ψ ψ = )
ψ -ə vurub, inteqrallayaq: , r d q r d Q ˆ * m n m * m * n r r ψ ψ ψ ψ ∫ ∫ =
r d Q ˆ r d Q ˆ r d Q ˆ n * m n * * m * m * n ∫ ∫ ∫ = = r r r ψ ψ ψ ψ ψ ψ Alınmış iki nəticənin fərqini tapaq:
0 = − = − ∫ ∫ ∫ r d ) q q ( r d Q ˆ r d Q ˆ n * m m n * m * n n * m r r r ψ ψ ψ ψ ψ ψ
Buradan bilavasitə tələb olunan nəticə alınır: , r d n * m 0 = ∫ r ψ ψ
. n m ≠
9. Verilmiş funksiyanı onun kompleks qoşmasına çevirən Qˆ operatorunun xətti operator olmadığını göstərin. Cavab: Qˆ operatorunun xəttilik şərtini yoxlayaq:
( ) ( ) , Q ˆ a Q ˆ a a a a a a a Q ˆ * * * * * * * 2 2 1 1 2 2 1 1 2 2 1 1 2 2 1 1 ψ ψ ψ ψ ψ ψ ψ ψ + = + = = + = + yəni
( ) . a a , a a , Q ˆ a Q ˆ a a a Q ˆ * * 2 2 1 1 2 2 1 1 2 2 1 1 ≠ ≠ + ≠ + ψ ψ ψ ψ
Deməli Qˆ - xətti operator deyil. 10. Verilmiş funksiyanı onun kompleks qoşmasına çevirən Qˆ operatorunun ermit operator olmadığını göstərin.
Cavab: Ermitlik şərtinə görə:
( )
) r d Q ˆ r d Q ˆ * * * r r ∫ ∫ = 1 2 2 1 ψ ψ ψ ψ
olmalıdır. Lakin: . r d r d Q ˆ r d r d Q ˆ * * * * * r r r r 1 2 1 2 2 1 2 1 ψ ψ ψ ψ ψ ψ ψ ψ ∫ ∫ ∫ ∫ = =
Buradan alırıq ki, . r d r d * * r r 1 2 2 1 ψ ψ ψ ψ ∫ ∫ ≠
Deməli, ψ - funksiyasını kompleks funksiyaya çevirən operator ermit deyil.
11. dx d F ˆ = Operatorunun ermit operator olmadığını göstər. Cavab: Ermitlik şərtinə görə:
1 2 2 1 ψ ψ ψ ψ ∫ ∫ +∞ ∞ − +∞ ∞ − = olmalıdır. ∫ +∞ ∞ −
F ˆ * 2 1 ψ ψ nteqralını hesablayaq: . dx dx d dx dx d dx F ˆ * * * * ∫ ∫ ∫ +∞ ∞ − ∞ + ∞ − +∞ ∞ − +∞ ∞ − − = = 1 2 2 1 2 1 2 1 ψ ψ ψ ψ ψ ψ ψ ψ Dalğa funksiyasının sistemin halını xarakterizə etməsi üçün o, sonlu olmalıdır. ( ) 0
∞ ψ
Şə rtin
ə gör
ə birinci h ə dd sıfır olar. Onda: , dx F ˆ dx F ˆ dx dx d dx F ˆ * * * * * 1 2 1 2 1 2 2 1 ψ ψ ψ ψ ψ ψ ψ ψ ∫ ∫ ∫ ∫ +∞ ∞ − +∞ ∞ − +∞ ∞ − +∞ ∞ − − = − = − = Y ə ni, dx d F ˆ = operatoru ermit operator deyil, antiermit operatordur. 12.
= operatorunun v ə xsusi qiym ə tini v
ə m ə xsusi funksiyalarını tapmalı. Cavab: M ə lumdur ki, m ə xsusi qiym ə t v
ə m ə xsusi funksiya bel ə bir t ə nlikd
ə n tapılır: , q Q ˆ ψ ψ =
q dx d ψ ψ =
qdx d = ψ ψ
∫ ∫ =
dx q d ψ ψ . Ae qx = ψ Aldı
ğ ımız ψ funksiyası sistemin halını xarakteriz ə etm
ə si üçün k ə silm
ə z, birqiym ə tli v
ə
conlu olmalıdır. Bu ik q ± = şə rtl ə ri daxilind ə dir. Burada k sıfırdan sonsuzlu ğ a q
ə d ə r mümkün olan k ə silm ə z qiym ə tl ə r alır. Onda dx d operatorunun m ə xsusi funksiyası bel ə olar:
( )
kx sin kx cos A Ae ik ± = = ± ψ Aldı
ğ ımız n
ə tic
ə
d operatorunun ermit olmadı ğ ını göst
ə rir. Çünki onun m ə xsusi qiym ə tl ə ri h ə qiqi deyildir. 13.
Cütlük operatorunun m ə xsusi qiym ə tl ə rini tapın. Cavab: Bu operatoru P ˆ il
ə iıar
ə ed
ə k. T
ə rif
ə
ə sas ə n: ( ) ( ) . x x P ˆ − = ψ ψ
M ə xsusi qiym ə ti t
ə yin ed
ə n t
ə nliy
ə
ə sas ə n: ( ) ( )
( ) ( ) , x q x , x q x P ˆ ψ ψ ψ ψ = − =
( ) ( ) ( ) , x q x P ˆ q x P ˆ ψ ψ ψ = − = −
( ) ( )
( ) . x q x q x ψ ψ ψ 2 = − =
Sonuncu ifad ə d ə n görünür ki, , q 1 2 =
q 1 ± =
Dem ə li, cütlük operatoru diskret spektr ə malikdir. Spektr iki ə d ə dd ə n ( 1 ± -d ə n) ibarətdir.
14. Kvant halının dəyişməsini xarakterizə edən Şredinger tənliyini tapmalı. Cavab: Kvant mexanikasinda sistemin halı dalğa funksiyası ilə tamamilə təyin olunur. Ümumi halda dalğa funksiyasının ödədiyi tənliyi belə yaza bilərik:
( )
( ) ( ) . t , r t , r Q ˆ t t , r r r r ψ ψ = ∂ ∂ Burrada ( )
r ψ sistemin halını t anında xarakterizə edən və funksiyaları diskret spekrpə malik olan
( ) t , r Q ˆ r operatorunun məxsusi funksiyasıdır. Yada salaq ki, məxsusi qiymət və məxsusi funksiya belə hesablanır: . q Q ˆ ψ ψ =
Klassik mexanika kvant mexanikasının keçid halı olduğu üçün, klassik hal da dalöa funksiyası ilə xarakterizə oluna bilər. Yəni zərrəciyin trayektoriyasını almaq üçün dalğa funksiyasının fazasi təsir inteqralı ilə əlaqədar olmalıdır. Çünki, klassik fizikada təsir inteqralının variasiyası hərəkət tənliyini verir. Ona görə kvaziklassik dalğa funksiyasını belə yazmaq olar:
( )
r = = = = ψ ϕ ϕ ψ ϕ
burada ( )
t , r I r təsir inteqralıdır. Kvaziklassik dalğa funksiyasından istifadə edib, ( ) t , r Q ˆ r
operatorunu müəyyənləşdirək: . t I h i ae t I h i ae t t I h i I h i ψ ψ ∂ ∂ = ∂ ∂ = ∂ ∂ = ∂ ∂
Məlumdur ki, H t I = ∂ ∂ −
burada H sistemin hamilton funksiyasıdır. Kvant mexanikasında hər bir dinamik dəyişənə qarşı operator qoyulduğu üçün hamilton funksiyası ( H ) qarşı hamilton operatoru ( Hˆ ) yazmaq olar. Onda
ψ ψ
ˆ h i t − = ∂ ∂ (*) alırıq. Deməli, axtarılan Qˆ operatoru aşağıdakı kimi təyin edilir:
. H ˆ h i Q ˆ − = (*) ifadəsini dalğa funksiyasının ödədiyi tənlik kimi belə yaza bilərik:
ψ ψ = ∂ ∂ (**) (**) ifadəsi kvant mexanikasının əsas tənliyi olan Ş r e d i n g e r t ə n l i y i d i r. 15 .
Stasionar hal üçün Şredinger tənliyini tap və bu halın xassələrini müəyyən et.
Cavab: Şredinger tənliyini yazaq: ( ) ( ) ( )
. t , r t , r H ˆ t t , r ih r r r ψ ψ = ∂ ∂ Ş redinger tənliyində hamilton operatoru ( Hˆ ), zamandan aşkar şəkildə asılı deyilsə, yəni 0 = ∂ ∂ t H ˆ , onda
( ) t , r r ψ -ni dəyişənlərinə ayırmaq olar: ( )
( ) ( ) . t r t , r ϕ ψ ψ r r =
Dalğa funksiyasını Şredinger tənliyində yerinə yazaq: ( ) ( )
( ) ( ) , t r H ˆ r t t ih ϕ ψ ψ ψ r r = ∂ ∂
( ) ( ) ( )
( ) r r H ˆ t t t ih r r ψ ψ ϕ ψ = ∂ ∂ . Sonuncu bərabərlik hər iki tərəfin eyni sabitə bərabər olduğu halda zaman ödənilir. Bu sabiti E ilə işarə edək:
( ) ( )
( ) ( )
r r H ˆ t t t ih r r ψ ψ ϕ ψ = ∂ ∂ = E, ( ) ( )
, t E t t ih ϕ ψ = ∂ ∂ ( )
( ) . r E r H ˆ r r ψ ψ = Dalğa funksiyasının yalnız zamandan asılı hissəsi üçün tənliyi həll edək: ( )
− = = = ∫ ∫ ϕ ϕ ϕ ϕ
( ) Et h i e t − = ϕ tənlik stasionar hal üçün Şredinger tənliyi adlanır.
Cavab: Frans-Keldıç effektinə görə yarımkeşiricilər xarici bircins elektrik sahəsində salınanda keçiricilik zonasında elektronların enererjisinin minimum qiyməti azalır. Onda optik udma zolağının kənar hissəsi pozulur ki, bu da enerjisi qadağan olunmuş zolağın enindən az olan fotonların kristal tərəfindən udulmasına gətirir. Bircins elekrtik sahəsində olan elektronun enerjisi
olar. Burada m* - elektronun keçirici zonada effektiv kütləsidir. Qeyri-müəyyənlik münasibətinə əsasən: , / h x P x 2 = ( )
. P x e * m P P E x x x 2 2 2 ε + =
Enerjinin minimumluğu şərtinə görə x P -i təyin edək : ( )
, dP P dE x x 0 = 0 2 2 = +
x x P h e * m P dP d ε , , P eh * m P x x 0 2 2 2 2 = − ε , eh * m P x 0 2 3 = − ε
eh * m P x 3 2 ε + =
P - in bu qiymətindən də E-ni təyin edək: = = + = + = 3 3 3 3 2 1 2 3 2 2 2 2 2 2 2 2 ε ε ε ε ε ε ε ε h * em h * em h * em eh * m / h * em h * em eh * m / eh * m E
* m h e h * em h * em h * em h * em / / 3 2 2 2 3 2 3 2 3 1 4 3 2 3 2 3 2 2 3 ε ε ε ε ε = = = =
Yəni: . * m h e E 3 2 2 2 4 3 ε = Keçirici zolaqda olan elektronun bircins elektrik sahəsində enerjisinin qiyməti E-nin bu qiymətinə bərabər olur. Buna Frans-Keldış effekti deyilir.
17. Koordinat operatorunu impuls təsvirində tapın. Cavab: Məlumdur ki, operatorun tərifinə görə operator və dalğa funksiyasını koordinat təsvirində belə yazmaq olar: ( ) ( ) ( )
. r r O ˆ r r r r ψ ψ = ′
Yeni təsvirə keçəndə isə bu ifadə aşağıdakı şəklə düşür: ∑ = n n mn m a O b - diskret məxsusi qiymətlər üçün;
( )
df f a O b f f m ∫ ′ = - kəsilməz məxsusi qiymətlər üçün. Sərbəst zərrəciyin impulsu kəsilməz qiymətlər aldığına görə: ( )
( ) , dp P a r P b p p ∫ ′ = ′ r burada
, r d r r p * p p p r r r ψ ψ ∫ ′ ′ =
burada isə p ψ -lər impuls operatorunun məxsusi funksiyalarıdır. Bu səbəbdən də ( ) ( ) ( ) ( )
r d e p i h h r d e P e i h h , r d e r e h h r r ) P P ( h i h r p i h r p i h r p i h r p i / / p p r r r r r r r r r r r r r r r r ∫ ∫ ∫ − ′ − ′ ′ − ′ ′ − ′ ∂ ∂ = ∂ ∂ = = 3 3 2 3 2 3 2 1 2 1 2 1 2 1 π π π π
Digər tərəfdən, ( ) ( ) ( ) ∫∫ − ′ = − ′ − −
P r d e h r P P h i r r r r r r δ π 3 2
olduğu üçün ( ) , P P p ih r p p r r r − ′ ∂ ∂ − = ′ δ və ( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
[ ] ( ) ( ) ( )
P a P ih P d P P a P P ih P a P P ih P d P a P P P ih P d P a r P b p p r r r r r r r r r r r r r r r r r ∂ ∂ + = ∂ ∂ − ′ + − ′ − = − ′ ∂ ∂ − = = ′ ∫ ∫ ∫ ∞ + ∞ − ′ δ δ δ . Yəni:
( ) ( )
. P a P ih P b r r r ∂ ∂ = ′ Burada ( ) P b ′ r və ( )
P a r uyğun olaraq ( ) r r ψ ′ və
( ) r r ψ funksiyalarının impuls təsvirində ifadəsidir. ( )
′ r -nin ifadəsini ( )
( ) ( ) r r O ˆ r r r r ψ ψ = ′ ilə müqayisə etsək alarıq ki, o . P ih rˆ r r ∂ ∂ = Deməli: koordinat operatoru impuls təsvirində impulsa görə törəmə operatordur.
18.
( ) ( ) ≤ ≤ − = − 2 2 1 0 a x a e a x p P h i ψ funksiyasını impuls təsvirində yazın. Cavab: ( )
0 1
h i e a x = ψ funksiyasını impuls təsvirində ( ) ∫
dP h e a x x P h i p π ψ 2 1 şəklində olacağı şərtini görə, həmin şə rti ödəyən a p -ni təyin edək: ( ) ( ) ( ) ( ) = − = = = + − − − − ∫ ∫ 2 2 0 0 0 2 1 2 1 2 1 a a x p P h i x p P h i P h i p P P h i e h dx e ha dx e x h a x π π ψ π
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) . P P h a ) P P ( sin a h h a ) P P ( sin P P h ha i e e P P h ha a p P h i a p P h i − − = − − = − − = − − − 0 0 0 0 0 2 2 2 2 2 1 2 2 2 1 0 0 π π π ( ) . P P h a ) P P ( sin a h a p − − = 0 0 2 2 π a p -nin təyin etdiyimiz bu ifadəsi ( )
x ψ funksiyasının impuls (P) təsvirində ifadəsidir.
19. Sistemin halının zamana görə dəyişvəsini Şredinger təsvirində unitar çevirmə vasitəsi ilə təsvir et.
Cavab: Əgər məxsusi qiymətlər spektri zaman keçdikcə dəyişmirsə, onda zamandan asılı olmayan operatordan istifadə etmək olar. Onda halın zamana görə dəyişməməsi hal vektorunun dəyişməməsi ilə təyin olunur. Hal vektorunun və operatorunun bu cürə təsviri Şredinger təsviri adlanır. Bu təsvirdə hal vektorunu unitar çevirmə vasitəsi ilə aşağıdakı kimi yamaq olar: ( )
( ) ( ) r t U t , r r r ψ ψ = . t = 0 anında U(0) = 1 olar və hal ( )
r ψ ilə xarakterizə olunur. Unitarlıq şərtinə görə: ( ) ( )
1 = +
( ) t , r r ψ vektorunu Şredinger tənliyində yerinə yazaq: ( )
( ) . , ˆ , t r H t t r ih r r ψ = ∂ ψ ∂ Hˆ zamandan asılı deyil. Ona görə: ( ) ( ) ( ) ( )
, r t U H ˆ r t t U ih 0 = − ∂ ∂ r r ψ ψ
( ) ( ) ( ) , r t U H ˆ t t U ih 0 = − ∂ ∂ r ψ ( )
( ) , t U H ˆ t t U ih = ∂ ∂
( ) , dt H ˆ h i U t dU − = ∂
( ) . e t U t H ˆ h i − = Buradan: ( ) ( ) ( )
( ) . t , r e r t U t , r t H ˆ h i r r r ψ ψ ψ − = =
Deməli, Şredinger təsvirində hal vektoru ( ) ( ) ( )
( ) t , r e r t U t , r t H ˆ h i r r r ψ ψ ψ − = =
kimi qəbul olunur. 20. Sistemin halının zamana görə dəyişvəsini Heyzenberq təsvirində unitar çevirmə vasitəsi ilə təsvir et. Cavab: Hal vektoru zamandan asılı deyilsə və operator zamandan asılıdırsa, belə təsvirə Heyzenberq təsviri deyilir. Ümumi qaydaya görə Heyzenberq təsvirində hal vektorunu ( )
( ) t , r ) t ( U r sh h r r ψ ψ 1 − =
kimi yazmaq olar. ( )
( ) t U F ˆ ) t ( U t F ˆ sh h 1 − =
operatorunu isə belə yaza bilərik: ( ) ( )
, t , r e r sh t H ˆ h i h r r ψ ψ = ( )
. e F ˆ e t F ˆ t H ˆ h i sh t H ˆ h i − = Heyzenberq operatorunun zamana görə dəyiıməsini ( )
t U t F ˆ t U t t F ˆ h ∆ ∆ ∆ 1 − = +
kimi yazmaq olar: ( ) ( ) [ ]
⋅ ⋅ ⋅ + + = + t F ˆ H ˆ h i t F ˆ t t F ˆ ∆ ∆ Onda Heyzenberq təsvirində bu operatorun zamana görə dəyişməsini aşağıdakı kimi yaza bilərik:
[ ]
. F ˆ H ˆ ih dt F ˆ d 1 = 21 . Spin operatorunu təyin edən Pauli operatorunu tap. Cavab: Fərz edək ki, sistemin halını xarakterizə edən dalğa funksiyası fəza koordinatları ilə yanaşı yeni bir dəyişəndən asılıdır: ( )
) . ˆ , t , rˆ ˆ , t , z , y , x σ ψ σ ψ ψ ≡ ≡
σ dəyişənlərinə spin dəyişənləri deyilir və o, fəza koordinatlarından asılı olmayan zerrəciyin daxili xassəsini əks etdirən dəyiıəndir.Onda: ( ) ( ) ( ) . t , rˆ , t , rˆ σ ϕ ψ σ ψ r r = ( )
σ ϕ r hal funksiyası üzərində unitar çevirmə aparaq: ( )
( ) . U σ ϕ σ ψ r r = ′ Zərrəciyin spin halı unitar çevirməyə görə dəyişməzdir, invariantdır. Spin fəzasında sonsuz kiçik çevirmə aparaq: ( )
( ) ( ) ( )
( ) ( )
, U U σ δϕ σ ϕ σ ϕ δ σ ϕ σ ϕ r r r r r + = + = = ′ 1 ( )
( ) , U σ ϕ δ σ δϕ r r = + − + = = δ γ β α i i U U U U U 22 12 12 11
+ + β α δ γ i i . Bu sonsuz kiçik çevirmə olduğuna görə: 1 → α 0 → δ γ β , , ,
= 0 α U
+ 0 0 β α i
− + − γ β 0 0
+ δ γ 0 0 i
0 δ
( ) ( ) ( )
. i i k k k k k k σ ϕ δα σ σ ϕ δα σ σ ϕ r r r + = + = ∑ ∑ = = 3 1 3 1 1
Burada = = = = = = = = = 1 0 0 0 1 1 3 2 2 3 1 x y z ; i ; ; σ σ δ δα σ σ γ δα σ σ β δα
, i , − − 0 1 0 1 0
Bunlara Pauli matrisləri deyilir və bu matrislər vasitəsi ilə spin operatorları təyin olunur. 22. Pauli matpisləri vasitəsi ilə spin operatorlarını təyin et. Cavab: Pauli matrisləri aşağıdakı münasibətləri ödəyir:
σ σ σ σ σ σ σ σ σ σ σ σ σ σ σ σ σ σ σ σ σ σ σ σ σ σ σ σ 2 2 1 2 2 2 = − = = − = = − = = − = = − = = = =
, ) ( i i i UU k k k k k k k k k k 1 1 1 1 1 3 1 3 1 3 1 = − + = − + = = + = = + = + ∑ ∑ ∑ σ σ δα σ δα σ δα
k k + = σ σ
, i l l ikl i k k i σ ε σ σ σ σ ∑ = = − 3 1 2
. ik i k k i δ σ σ σ σ 2 = + l l ikl i k k i i δ ε σ σ σ σ ∑ = = − 3 1 2 bərabərliyinin hər tərəfini 4 2
-ə vuraq. Alırıq ki,
σ ε σ σ σ σ 2 2 2 2 2 3 1 ∑ = = − Ə gər k k h Sˆ σ 2 = daxil etsək: ∑ = = − 3 1 l l ikl i k k i Sˆ ih Sˆ Sˆ Sˆ Sˆ ε , , Sˆ ih Sˆ Sˆ Sˆ Sˆ z x y y x = − , Sˆ ih Sˆ Sˆ Sˆ Sˆ x y z z y = − . Sˆ ih Sˆ Sˆ Sˆ Sˆ y z x x z = − Deməli, σ r
2 h S ˆ = operatoru məxsusi hərəkət miqdarı momenti və ya spin momenti operatopudur. σ matrislərinin biri digəri ilə komutasiya etmədiklərinə görə onların hamısı dioqnal ola bilməz. Yalnız = 0 1 z σ
−1 0 dioqnaldır. 23.
Antisimmetrik funksiyalarla xarakterizə olunan zərrəciklər sistemində hər hansı kvant halında bir zərrəcikdən artıq zərrəciyin ola bilməməsi – Pauli prinsipini, göstərin. Cavab: Fərz edək ki, iki zərrəcikdən ibarət sistemimiz var (sadəlik üçün). Bu sistemin dalğa funksiyasını ( )
, , 2 1 ψ ilə işarə edək. Birinci zərrəciyin Yüklə 210,42 Kb. Dostları ilə paylaş:
|