8-Ma’ruza mashg’ulot. Parametr kiritish usuli, to’liq bơlmagan differensial tenglamalar. Lagranj va Klero tenglamalari

1-Misol.

Agar bo’lsa, ham tenglamaning yechimi bo’ladi.
2-hol. (1) tenglamani ga nisbatan yechish osonroq bo’lsin:
(6 )
Har-ikkala tomonidan ga nisbatan hosilasini olamiz.

Bu va  ga nisbatan birinchi tartibli differensial tenglamadir. Agar bu tenglamaning umumiy yechimi bo’lsa, (6) tenglamaning umumiy integrali bo’ladi.
2-Misol



(1)
tenglama yechimining mavjudlik va yagonalik teoremasi
1) funksiyasi nuqtaning yopiq atrofida o’zining barcha xususiy hosilalari bilan birga aniqlangan va uzluksiz differensiallanuvchi bo’lsin.
2) Bu nuqtada


U holda (1) tenglama nuqta atrofida aniqlangan va uzluksiz differensiallanuvchi yagona yechimga ega bo’lib, bu yechim boshlang’ich shartni hamda shartni qanoatlantiradi.


Lagranj tenglamasi
Differensiallash metodi bilan kvadraturaga keltiraladigan hosilaga nisbatan yechilmagan tenglamalardan biri Lagranj tenglamasi bo’lib, uning umumiy ko’rinishi
(1)
bo’ladi. Bunda ko’rilayotgan sohada uzluksiz funksiyalar bo’lib unda (1) tenglamadan ko’rinadikim. Lagranj tenglamasi  va  larga nisbatan chiziqli differensial tenglamadir (1) ning har ikkala tomoni ga bo’lsak,
(2)
tenglamaga ega bo’lamiz.
Bunda

Lagranj tenglamasining kanonik (sodda) ko’rinishidir.
(2) tenglamani yechish uchun differensiallash usulidan foydalanamiz
(3)
bo’lmasin, tenglamada  ni funksiya -ni argument deb qabul etsak, tenglamani



Bu esa birinchi tartibli chiziqli differensial tenglamadir.
Ma’lumki uning umumiy yechimi

dan iborat.
Bu topilgan qiymatni (2) ga olib borib qo’ysak Lagranj tenglamasining parametrga bog’liq bo’lgan umumiy yechimiga ega bo’lamiz.

Faraz etaylik bo’lsin. Bu tenglamaning yechimlaridan biri bo’lsin ya’ni

U holda (2) dan ga ega bo’lamiz. Bu ham Lagranj tenglamasining yechimidir. Bu yechim tenglamaning maxsus yechimi bo’lishi mumkin.