Asosiy belgilashlar

Q
^x_i ^{- x}_{n+ m
i} ( x) ga qo’shimcha ko’paytuvchini kiritadi.


^{Shunday qilib, yangi m ta xn+1} , x^{n+ 2} ,..., x^{n+ m nuqtalarning kiritilishi oldingi}
Q_i ( x) ko’phadni

Q
_* ^{x 一 x}_{n +1} ^{x 一 x}_{n + 2} ^{x 一 x}_{n + m
i} ( x) = Q_i ( x) . . ... .
^xi ^{一 x}n +1 ^xi ^{一 x}n + 2 ^xi ^{一 x}n + m
,
(2. 14)

ko’phadga aylantiradi.
_Q
^{Yuqoridagi muloxazalarning haqiqat ekanligi shakli o’zgartirilgan}
ko’phadlarning quyidagixossalarga ega ekanligidankelib chiqadi:
^* _{( x)}
i
^Q
1 .

0
i ^{( x) = δ}_ik ^{(k = 1, 2, ..., n) .}
_{1 1}
^∫
2 .

0
_{一 1} ^Q i ^{( x) dx = ∫}_{一 1} ^Q i ^{( x) dx = 负i}
endi buxossalarni isbotiniko’ramiz.
Birinchixossa bevosita (c) munosabatdankelib chiqadi. Ikkinchisiuchun esa
x i 一 xn_n+₊k_k ^{= 1 +} _xix_一一x n _k
dan foydalanamiz.
Bundan shuni xulosa qilamizki, ^(c) tenglikning o’ng tomonidagi qo’shimcha
ko’paytuvchilarni ko’paytirishni ^{1 一 ξ}m _{一 1} ^{( x)} ko’rinishda tasvirlash mumkin
ekan, bu yerda ^ξm _{一 1} ^{( x) 一 m 一 1} darajali ko’phad. (2.13) shartning kuchiga
^{asosan 2}0 ^{- tenglik bajariladi. Isbotlangan 1}0 ^{va 2}0 ^{larko’rsatadiki yangi ordinatalar}
oldingi olingannatijalarni o’zgartirmaydi.
Muhimrog’i shundan iboratki, bizlar qo’shimcha ^y _n+1 ^{, y}_{n+ 2} ^{,..., y}_{2 n}
ordinatalarni bilishimiz shart emas.
^{A = y} _k ^负_k ^{,
yigindi n ordinatayordami bilan shunday aniqlikdagi yuzaniberadiki, agar biz 2 n}
- ordinata olsak hamo’zgarmaydi.
(2.13) - tipdagi integral shart ortogonallash sharti deyiladi. Biz ko’rsatamizki, ^F_n ^{( x)} ko’phad ^{1, x 1 , x 2 , ..., xn 一1} darajali funksiyalarga ortogonaldir. Bunday
shartlarni oldin ortogonal funksiyalar sistemasiniko’rib chikkanda o’rganganmiz.
Biz Yakobi ko’phadlarini tekshirib chiqdikki, u (2.13) shart ma’nosida ko’phad darajasidan past bo’lgan barcha ^x ning darajalariga ortogonallik xossalariga egadir. Ammo ortogonallik sharti umumiy holda yana ^{p( x)} vazn ko’paytuvchini ham integral ostiga oladi . Faqat maxsus hollarda “Lagranj ko’phadlari” da bu vazn ko’paytuvchi birga teng bo’ladi va shunday qilib, ortogonallik oddiy ortogonallikka aylanib qoladi. Shunday qilib, ^F_n ^{( x)}
funksiyani tanlash masalasihal qilinadi:
Gauss metodi ^F_n ^{( x)} ni ⁿ - Lagranj ko’phadlari bilan mos qo’yishni talab qiladi: bu ko’phad ildizlari bizga shunday nuqtalarni beradiki, qaysikim ^{f ( x)} funksiya qiymatlari berilgan bo’ladi. ^负_i koeffisentlarning sonli qiymatlari bilan birga shu ildizlarning juda aniq jadvallari borki, u (2.8) formula bilan hisoblanadi.
Bizgama’lumki, [ a ^, b] da n nuqtali interpolyatsion formulaning


^b n
^{∫ p( x) f ( x)dx ~ Σ Ak f ( xk ) , (2.15)}
_a ^{k = 1}
tugun nuqtalari [ a ^, b] oraliqda qanday joylashganliklaridan qat’iy nazar, (n ^{- 1)} - darajali ko’phadlar aniq integrallanishi qaraladi. Chekli [ a ^{, b] oraliq va p( x) = 1} uchun Gauss quyidagi masalani qaragan edi. ^x₁ ^{, x}₂ ^{,..., x} _n tugunlar shunday tanlanganki , (2.15) formula mumkin qadar darajasi eng yuqori bo’lgan ko’phadlarni aniq integrallasin. (2.15) formula n ta parametr - tugunlarni maxsus ravishda tanlash yo’li bilan uning aniqlik darajasini ⁿ birlikka ortirishni kutish mumkin. Haqiqatdan ham ^x₁ ^{, x}₂ ^{,..., x} _n tugunlarni maxsus ravishda tanlash orqali (2.15) formulaning darajasini ^{2 n - 1} dan ortmaydigan barcha ^{f ( x)} ko’phadlar
uchun aniq bo’lishga erishishni Gauss ko’rsatdi. Qanchalik Gaussning natijasi
ixtiyoriy oraliq va vazn funksiyalar uchun umumlashtirildi. Bunday formulalar
Gauss tipidagikvadratur formulalardeyiladi. Qulaylikuchun x ⁿ tugunlaro’rnida ( x) = ( x - x₁ )( x - x₂ )...
ko’phad bilan ish ko’ramiz. Agar ^x _k lar ma’lum bo’lsa, u holda ^负_n ^{( x)} ham ma’lum bo’ladi va aksincha. Lekin ^x _n larni topishni ^负_n ^{( x)} ni topish bilan almashtirsak , u holda biz ^负_n ^{( x)} ni ildizlari haqiqiy, har xil va ularning [ a ^{, b]}
oraliqdayotishiniko’rsatishimiz shart.
Teorema_.'>Teorema. (2.1) kvadratur formula darajasi 2 n ^{- 1} dan ortmaydigan barcha ko’phadlarni aniq integrallashi uchun quyidagi shartlarning bajarilishi zarur va yetarlidir: 1) u interpolyatsion va 2) ^负_n ( x) ko’phad [ a ^, b] oraliqda p( x) vazn bilan darajasi n dan kichikbo’lgan barcha Q ( x) ko’phadlarga ortogonal bo’lishi
kerak.
b
_∫ ^{p( x)负}_n ^{( x)Q( x)dx = 0} _{, (2.16)}
a
Isbot. Zarurligi. Faraz qilaylik, (2.15) formula darajasi ^{2 n - 1} dan oshmaydigan barcha ko’phadlarni aniq integrallasin. U holda u interpolyatsiondir. Endi darajasi ⁿ dan kichik bo’lgan ixtiyoriy ^{Q ( x)} ko’phadni olib, ^{f ( x) = 负}_n ^{( x)Q( x)} deb olamiz. Shuning uchun ko’rinib turibdiki, ^{f ( x)}
darajasi ^{2 n - 1} dan ortmaydigan ko’phad. Shuning uchun ham uni (1) formula
aniq integrallaydi:

b
_∫ ^{p( x)负}_n ^{( x)Q( x)dx} a

_{Bu yerda,} ^负_n ^{( x}_k <sup>) = 0 ( k = 1, n)


= A</sup>_k ^负_k ^{( x}_k ^{)Q( x}_k ⁾ _.


ni hisobga olsak (2.16) tenglik kelib

chiqadi, chunki ^{r( x)} darajasi ⁿ dan kichik ko’phad va (2.15) formula
interpolyatsiondir.
Yetarliligi. Faraz qilaylik (1) formula interpolyatsion va ko’phad darajasi n dan kichik bo’lgan barcha ko’phadlarga vazn bilan ortogonal
bo’lsin. Endi (2.15) formula darajasi 2n- 1 dan ortmaydigan barcha

^{ko’phadlarni aniq integrallashini ko’rsatamiz. Haqiqatdan ham ni ga}
bo’lib,
(2.17) nihosil qilamiz, hosil qilamiz, buyerda larnidarajalarin dankichik. Bu tengliklarning har ikkala tomonini ga ko’paytirib, a dan b gacha
integrallaymiz:

Teorema shartiga ko’ra o’ng tomondagi birinchi integral nolga teng, ikkinchi
integral esa
^{Chunki daarajasin dankichik ko’phadva (2.15) formula interpolyatsiondir.}
Demak,
^b n
_∫ ^{p( x) f ( x)dx =} _Σ ^A_k^{r( x}_k ⁾ _{, a} ^{k = 1}
lekin (2.17) gako’ra r( x) ^{= f ( x)} . Shuninguchun
^b n
_∫ ^{p( x) f ( x)dx =} _Σ ^A_k ^{f ( x}_k ⁾ _{. a} ^{k = 1}
Shu bilan birgateoremaningyetarli sharti isbot bo’ldi.
^Φ_n ^{( x)} ko’phad ^{p( x)} vazn bilan ^{[ a , b]} oraliqda darajasi ⁿ dan kichik bo’lgan barcha ko’phadlar bilan ortogonal va bosh koeffisenti birga teng bo’lishi uchun ishnatijalariga ko’ra , bunday ^Φ_n ( x) ko’phad yagona hamda uningildizlari haqiqiy, har xilva [ a ^, b] oraliqdayotadi. Demak, agar p( x) vazn [ a ^{, b]} oraliqda o’z ishorasini saqlasa, u holda xar bir ^{n = 1,2 ,.....} uchun ^{2 n - 1} darajali
ko’phadlarni aniq integrallaydiganyagona (2.2.1) kvadratur formula mavjud.
Teorema 2.2 Agar vazn [a,b] oraliqdao’zishorasinisaqlasa,u holda va lar qanday tanlanganda ham (2.15) tenglik 2n darajali barcha ko’phadlar
uchun aniq bo’la olmaydi.
^{Isbot. Kvadratur formulaning tugunlarini lar orqali belgilab,}
quyidagi

2n- darajali ko’phadni qaraymiz.
Ko’rinibturibdiki, (1) formula buko’phaduchun aniq emas, chunki

vaixtiyoriy koeffisentlaruchun