Differensial tenglamalar va matematik fizika

Kurs ishining maqsadi: fizika va mexanikaning ayrim masalalarini matematik fizika tenglamalariga asoslanib qo`llash, ularni yechish usullarini o`rganish.
Kurs ishi tuzilishi: ushbu kurs ishi IV bobdan iborat bo`lib, 1-bob kirish, 2-bob asosiy qism, 3- bob xulosa va 4- bob foydalanilgan adabiyotlardan iborat.

II. ASOSIY QISM
2.1. Matematik fizikaning asosiy tenglamalariga keladigan fizika va mexanikaning ayrim masalalari
Asosiy tenglamalarni keltirib chiqarishdan avval matematik analizdan ma’lum bo’lgan fazoda soha bo’yicha olingan o`lchovli integralni sohaning chegarasi bo’yicha olingan o’lchovli integral bilan almashtirish imkonini beradigan
Gauss - Ostrogradskiy formulasini eslatib o’tamiz. funksiyalar bo’laklari silliq sirt bilan chegaralangan yopiq sohada uzlo’qsiz bo’lib, ularning birinchi tartibli hosilalari da uzlo’qsiz bo’lsin. Quyidagi Gauss - Ostrogradskiy formulasi o’rinlidir:

bu yerda lar sirtga o’tkazilgan tashqi normalning yo’naltiruvchi kosinuslari. Agar funksiyalarni biror vektorning komponentlari deb hisoblab, uning tashqi normaldagi proyeksiyasini orqali belgilab olsak,

bo’ladi.

ni e’tiborga olsak, Gauss - Ostrogradskiy formulasi

ko’rinishda yoziladi. Agar normal ichki bo’lsa, sirt bo’yicha integral oldida ishora bo’ladi.
2.2. Tor tebranishining tenglamasi.
Mexanikaning (tor, sterjen, membrana, uch o’lchovli hajmlarning tebranishlari), fizikaning (elektromagnit tebranishlar) ko’p masalalari
(2.2.1)
ko`rinishdagi tebranish tenglamalariga olib kelinadi. Bundagi noma’lum funksiya ta fazoviy koordinatalarga hamda vaqtga bog’liqdir. koeffitsiyentlar tebranish sodir bo’layotgan muhitning xossalari bilan aniqlanadi, ozod had esa tashqi ta’sirning (ya’ni ta’sir qilayotgan tashqi kuchlarning) intensivligini ifodalaydi. (2.2.1) tenglamada ishtirok etayotgan div va grad operatorlar ta’rifiga asosan

(2.2.1) tenglamaning keltirib chiqarilishini tor tebranishining misolida ko’rsatamiz. Tor deganda erkin egiladigan ingichka ip tushuniladi, boshqacha aytganda, tor shunday qattiq jismki, uning uzunligi boshqa o’lchovlaridan anchagina ortiq bo’ladi. Torga ta’sir qilib turgan taranglik kuchi yetarli katta deb faraz qilamiz. Shu sababli torning egilgandagi qarshiligini tarangligiga nisbatan hisobga olmasa ham bo’ladi. Ikki nuqta orasida tarang qilib tortilgan torni tekshiramiz. Aniqlik uchun bu o’qida joylashgan bo’lsin. Biz torning tekis ko’ndalang tebranishini tekshiramiz, ya’ni bu shunday tebranishki , tor hamma vaqt bir tekislikda yotadi va torning har bir nuqtasi o’qqa perpendikulyar bo’yicha siljiydi. Bu degan so’z, muvozanat vaqtida abssissaga ega bo’lgan torning nuqtasi tebranish jarayonida ham shu abssissaga ega bo’ladi (1- chizma).

1-chizma.
Bu nuqtaning ordinatasi vaqt o’tishi bilan o’zgaradi, ya’ni torning muvozanat holatidan siljishidan iborat. Tor tebranishining matematik qonunini topish uchun i ning vaqtga va ga qanday bog’liqligini, ya’ni funksiyani topish kerak. Biz torning faqat kichik tebranishlarini tekshiramiz, ya’ni va ga nisbatan yuqori tartibli kichiklikdagi miqdorlarni hisobga olmaymiz.
Tor egilishga qarshilik ko’rsatmaganligi tufayli ,uning vaqtda nuqtadagi tarangligi nuqtada torga o’tkazilgan urinma bo’yicha yo’nalgan bo’ladi. Torning ixtiyoriy qismini olamiz. Bu qism tebranish davrida shaklga keladi. Buning vaqtdagi yoy uzunligi

ya’ni kichik tebranishlarda tor qismlarining uzunligi cho’zilmaydi va qisqarmaydi. Demak, Go’q qonuniga asosan taranglik miqdori ga bog’liq bo’lmagan o’zgarmas bo’lib qoladi, ya’ni

Tor tebranishining tenglamasini chiqarish uchun Dalamber prinspidan foydalanamiz. Bunga asosan, torning ajratilgan qismiga ta’sir qiluvchi barcha kuchlarning yig’indisi nolga teng bo’lishi kerak. Birlik uzunlikda hisoblangan va torga o’qqa parallel ta’sir qiladigan tashqi kuch bo’lsin. qismga ta’sir qiladigan kuch

ga teng bo’ladi. nuqtadagi esa ga teng bo’la-

di. Ushbu

formulaga asosan

tenglikka ega bo’lamiz. Torning chiziqli zichligi, ya’ni tor kichkina bo’lagi massasining uning uzunligiga bo’lgan nisbatining limiti, bo’lsin. nuqta tezligi tezlanishi bo’lgani uchun bo’lakning inersiya kuchi

ga teng bo’ladi. Dalamber prinspiga asosan

tenglikka ega bo’lamiz. va lar ixtiyoriy bo’lgani uchun
(2.2.2)
Bu esa tor kichik ko’ndalang tebranishlarining tenglamasidir.
Agar zichlik o`zgarmas bo’lsa, , torning tebranish tenglamasi
(2.2.3)
ko’rinishda yoziladi, bunda
tenglama odatda bir o’lchovli to’lqin tenglamasi ham deyiladi. Torga ta’sir qilayotgan tashqi kuch bo’lsa, torning erkin tebranish tenglamasi
(2.2.4)
kelibchiqadi.
(2.2.1) ko’rinishdagi

tenglama egiluvchan sterjenning kichik bo’ylama tebranishlarini ham ifodalaydi, bunda sterjen ko’ndalang kesimining yuzi, nuqtadagi Yung moduli.

Xuddi tor tebranish tenglamasiga o’xshash membrananing kichik ko’ndalang tebranishlarining tenglamasi keltirib chiqariladi:

bo’lsa, membrana tebranish tenglamasi

(2.2.5)
ikki o’lchovli to’lqin tenglamasi deyiladi. Uch o’lchovli to’lqin tenglamasi
(2.2.6)
bir jinsli muhitda tovush tarqalishi va elektr o’tkazmaydigan bir jinsli muhitda elektromagnit to’lqinlari tarqalishini ifodalaydi. (2.2.6) tenglamani gazning zichligi, bosimi, tezliklarning potentsiali hamda elektr va magnit maydonlari kuchlanishlarining tashkil etuvchilari qanoatlantiradi.
(2.2.3), (2.2.5), (2.2.6) tenglamalar qisqacha
(2.2.7)
ko’rinishda yoziladi, bunda to’lqin operator (Dalamber operatori):

Tor yoki sterjen tebranish jarayonining fizik ma’nosidan shu narsa kelib chiqadiki, bu jarayonni bir qiymatli ifodalash uchun qo’shimcha u siljish va tezlikning boshlang’ich vaqtdagi qiymatlarini (boshlang’ich shartlar) berish zarur:

Bundan tashqari torning chetki nuqtalaridagi holatini ham ko’rsatish kerak. Torning tekshirilayotgan qismining ikki cheti mustaxkamlangan bo’lsa, izlanayotgan yechim

shartlarni qanoatlantirishi zarur. Agar torning yoki sterjenning chetlari mustaxkamlanmay, biror qonun bo’yicha harakatlanayotgan bo’lsa,

shartlarni berish kerak. Agar torning chetiga berilgan kuch ta’sir qilayotgan bo’lsa,

Haqiqatdan ham, bu holda

Agar sterjenning ikki yoki bir cheti, masalan elastik mustaxkamlangan bo’lib, mustaxkamlanganlik qattiqligi koeffitsiyenti bo’lsa, Go’q qonuniga asosan

bo’ladi, ya’ni chet siljishi mumkin, ammo mustaxkamlanganlikning elastik kuchlari bu chetda taranglik paydo bulishga sabab bo’ladi, bu esa siljigan chetni oldingi holatiga keltirishga intiladi

Yuqorida keltirib chiqarilgan to’lqin tebranish tenglamalari ravshanki, giperbolik tipga tegishlidir.