Guliston davlat universiteti

1.2-§. Tartiblangan toʻplamlar .Oʻrin almashtirish va joylashtirish .
Berilgan toʻplamning oʻrin almashishi.
2.1-Ta’rif: Berilgan toʻplam tartiblangan deyiladi ,agarda bu toʻplamning har bir elementiga mos ravishda 1 dan n gacha boʻlgan ayrim sonlar qoʻyilgan boʻlsa, bunda n – toʻplamning elementlari soni.
Shunday qilib turli elementlarga turli sonlar mos keladi.Har qanday chekli toʻplamni tartiblash mumkin, masalan toʻplamning barcha elementini ayrim roʻyxatga qayta yozilsa (a,b,c….) , keyin esa har bir elementga mos ravishda tartib raqami qoʻyish kerak , roʻyxatda turgan oʻrniga qarab . A toʻplamdan hosil qilingan tartiblangan toʻplamni bilan ifodalaymiz.Koʻrinadiki , birdan ortiq elementni oʻz ichiga olgan har bir toʻplamni birdan ortiq usulda tartiblash mumkin.
2.2- Ta’rif:Tartiblangan toʻplamlarni har xil deb hisoblash mumkin, agar ular yo oʻzlarining elementlari bilan , yo tartibi bilan farqlansa.Faqat elementlar tartibi bilan farqlanadigan turlicha tartiblangan toʻplamlar (elementlar oʻsha toʻplamning oʻzidan olingan boʻlishi mumkin) bu toʻplamning oʻrin almashishi deyiladi.
2.1-Misol: 3 ta elementli A(a,b,c) toʻplamning oʻrin almashishi quyidagiga ega:
(a,b,c) ,(a,c,b) ,(b,a,c)
(b,c,a), (c,a,b), (c,b,a).
Berilgan toʻplamni tartiblash mumkin boʻlgan turli usullari sonini topamiz.
2.3-Tarif: Faqat elementlarining tartibi bilangina farq qiluvchi
(yani k = m) oʻrinlashtirishlar oʻrin almashtirish deyiladi.
Ularning soni P_m orqali belgilanadi. (fransuzcha permutation – oʻrin almashtirish). Tarif boʻyicha
yoki (2.1.2)


A toʻplamning oʻrin almashish sonini ham A toʻplam m ta elementga ega deylik.
Uning oʻrin almashish sonini P orqali ifodalaymiz.
2.1- Teorema:

Isbot1: A toʻplamdan ayrim a elementni tanlaymiz. a element 1nomerga ega boʻlgan barcha oʻrin almashishni koʻrib chiqamiz. Bunday oʻrin almashishlar soni A toʻplamning m-1 elementidan oʻrin almashish soniga teng, ular toʻplamdan a elementni chiqarib tashlagandan keyin qoladigan oʻrin almashishlar.
Shuning uchun oʻrin almashishlar soni , ular uchun a 1 nomerga ega boʻladi va ga teng.
M orqali A toʻplamning barcha oʻrin almashishlar toʻplamini ifodalaymiz, orqali esa a 1 nomerga egaboʻlgan oʻrin almashishlar toʻplamini ifodalaymiz. U holda
,
Bunda a,b,…,f - A toʻplamning barcha elementlari. toʻplamdan hech qanaqa ikki toʻplam umumiy elementga ega boʻlmas ekan ,(eslatamizki , bu toʻplam elementlari - oʻrin almashishlar , turli toʻplamlarda birinchi oʻrinda har xil elementlar turadi , kelib chiqadiki , mos keladigan oʻrin almashishlar ham har xildir) , uholda
.
Kelib chiqadiki,
.
Isbot2: A toʻplamning elementlarini ketma –ket tanlaymiz va ularni aniq tartibda m oʻrinda joylashtiramiz.Birinchi oʻringa istalgan m ta elementni qoʻyish mumkin. Ikkinchi oʻringa esa istalgan m-1 elementning qolganiniqoʻyishimiz mumkin.
Koʻpaytirish qoidasiga koʻra barcha m oʻrinni quyidagi usulda toʻldirish mumkin:
N(m-1)(m-2)….2 1=m!
Bundan koʻrinadiki m ta elementli A toʻplamni m! usul bilan tartiblash mumkin . 2.2 – Misol. 3 detalni 3 qutiga necha xil tartibda joylashtirish mumkin.
Yechish. Detallarni x₁,x₂,x₃ orqali, qutilarni 1,2,3 orqali belgilaymiz. Natijada (x₁,x₂,x₃), (x₁,x₃,x₂), (x₂,x₁,x₃), (x₂,x₃,x₁), (x₃,x₁,x₂), (x₃,x₂,x₁) oʻrin almashtirishlar olinadi. Ularning soni P₃ = 3! = 1*2*3 = 6
Javob. 6 ta

2.3 – Misol: 8 kishini necha xil usulda oʻtkazish (joylashtirish) mumkin.

Yechish. Izlanayotgan usullar 8 elementdan tuzilgan tartiblangan toʻplamlar soniga teng.
P₈ = 8! = 1*2*3*4*5*6*7*8 = 40320
Javob: 40320.
2.4 – Misol. A toʻplam berilgan boʻlsin. A = {1,2,3,4} A toʻplamning oʻrin almashtirishlari sonini toping.
Yechish. P_m= m! formuladan foydalanamiz:

P₄ = 4! = 1*2*3*4 = 24

A toʻplamning hamma oʻrin almashtirishlari soni 24 ta ekan. Bu oʻrin almashtirishlar quyudagilar:
{1,2,3,4}, {2,1,3,4}, {3,1,2,4}, {4,1,2,3}, {1,3,2,4},
{2,1,4,3}, {3,1,4,2}, {4,1,2,3}, {1,3,4,2}, {2,3,1,4},
{3,2,4,1}, {4,2,1,3}, {1,4,3,2}, {2,3,4,1}, {3,4,1,2},
{4,2,3,1}, {1,4,2,3}, {2,4,3,1}, {3,4,2,1}, {4,3,1,2},
{1,2,4,3}, {2,4,1,3}, {3,2,1,4}, {4,3,2,1}.

2.4 – Misol. 1,2,3,4,5 raqamlardan shu raqamlar takrorlanmaydigan qilib nechta besh xonali son tuzish mumkin.

Yechish. Izlanayotgan sonlar soni 5 elementdan tuzilgan tartiblangan toʻplamlar soniga teng. P_m = m! formula yordamida hisoblaymiz:

P₅ = 5! = 1*2*3*4*5 = 120

ushbu tenglikning toʻgʻriligini tekshirish oson:

P_k+1 = P_k * (k + 1) = 1*2*3…*k*k+1 = (k + 1)!

2.5 – Misol. 7 xil kitobni 7 oʻquvchiga necha usul bilan tarqatish mumkin.

Yechish. Izlanayotgan usullar soni 7 elementdan tuzilgan tartiblangan toʻplarlar soniga teng. Bu misolga m = k.

P₇ = 7! = 1*2*3*4*5*6*7 = 5040.

2.6 – Misol. ni hisoblang.

Yechish. Bu ifodani yechish uchun P_m = m! formuladan foydalanamiz. Avval har bir takrorsiz oʻrin almashtirishlarni hisoblaymiz:

P₂₀ = 20! = 1*2*…*18*19*20

P₄ = 4! = 1*2*3*4
P₁₆ = 1*2*3….*15*16

Oʻrin almashtirishlarni etib kasrga qoʻyamiz va kasrni qisqartiramiz:

2.7-misol:Javonga 4 kitobni necha usul bilan joylash mumkin?(Ularni A,B,C,D bilan ifodalaymiz).

Yechish :Izlanayotgan usullar soni 4 ta elementdan tashkil topgan toʻplamni tartiblzsh usuli soniga teng .

2.8-misol:{1,2,…..,2n} toʻplamni nechita shunday usul bilan tartiblash mumkinki, har bir juft son juft nomerga ega boʻlsin ?
Yechish : Juft sonni juft nomerlar bilan (bunday oʻrin n) n! usulda oʻringa qoʻyish mukin , juft nomerlar bilan oʻrinlarga juft sonlarni joylashtirishning har bir usuliga toq nomerlar bilan oʻrinlarga toq sonlarni n! usul bilan joylashtirish mos keladi . Shuning uchun koʻpaytirish qoidasiga asosan koʻrsatilgan tipning oʻrin almashishi umumiy soni n! ga teng .
2.9-misol:Nechita n ta elementli oʻrin almashishi tuzish mukin , qaysi unda
berilgan 2 element bir qatorda turmasa?
Yechish: Berilgan 2 elementi a va b qatorda turgan oʻrin almashishlarning
sonini aniqlaymiz. Quyidagi holat yuzaga kelishi mumkin : a birinchi oʻrinda turadi , a ikkinchi oʻrinda turadi,……, a (n-1) oʻrinda turadi , b esa a dan oʻngroqda , bunday holatlar soni (n-1) gateng. Bundan tashqari a va b oʻrin almashishi mumkin va kelib chiqadiki, a va bqator bilan joylashishning 2(n-1) usuli mavjud.Bu usullarning har biriga boshqa elementlarning (n-2)! Oʻrin almashish mos keladi .

Kelib chiqadiki , a va b yonma –yon turadigan oʻrin almashish soni

ga teng .
Shuning uchun izlangan oʻrin almashish soni
n!-2(n-1)!=(n-1)!(n-2).

2.10-misol:Shaxmat doskasida 8 ta ruhni necha usul bilan shunday

joylashtirish mumkinki , ular bir –birini ura olmasin?
Yechish:Ruhlarning koʻrsatilgan joylashishiga har –bir vertikalda va har bir gorizontalda faqat bitta ruh turibdi.
Ruhlarning shunday joylashishidan birini koʻrib chiqamiz . -vertikal nomeri , unda ruh birinchi gorizontaldan turadi, - vertikal nomeri, unda ruh ikkinchi gorizontalda turadi,………………, - vertikal nomeri unda oxiri , sakkizinchi gorizontaldagi ruh turadi.
U holda 1,…..,8 sonlari oʻrin almashishining oʻzidir. sonlari orasida bironta teng juftlik yoʻq, aks holda 2 ruh bitta vertikalga tushib qolar edi .
Kelib chiqadiki ruhlarning har bir joylashishiga 1……8 sonlarining ma’lum oʻrin almashishi mos keladi.
Aksincha , 1,……,8 sonlarning har bir oʻrin almashishiga ruhlarning shunday joylashishi mos keladiki , bu holatda ular bir birini urmaydi .
Bundan ruhlarning izlangan joylashish soni

ga tengligi kelib chiqadi.