Iteratsion jarayonni qurish prinsiplari

4. ZEYDEL USULI
Zeydel usuli chiziqli bir qadamli birinchi tartibli iteratsion usuldir. Bu usul oddiy iteratsion usuldan shu bilan farq qiladiki, dastlabki yaqinlashish ga ko`ra topiladi. So`ngra ko`ra topiladi va x.k. Barcha lar aniqlangandan so`ng lar topiladi. Aniqroq aytganda, hisoblashlar quyidagi tarx (sxema) buyicha olib boriladi:




3.3.2. dagi yaqinlashish shartlari Zeydel usuli uchun ham urinlidir. Ko`pincha Zeydel usuli oddiy iteratsiya usuliga nisbatan yaxshirok yaqinlashadi, ammo har doim ham bunday bulavermaydi. Bundan tash-kari Zeydel usuli programmalashtirish uchun qulaydir, chunki ning qiymati hisoblanayotganda larning qiymatini saklab kolishning xojati yo`q.
Misol. Zeydel usuli bilan 3.3.2. dagi 1- misolning echimi 5 xona aniqlikda topilsin.
Echish. Tizimni
x₁=0,6 - 0,1x₂ + 0,3x₃ + 0,2x₄ - 0,1x₅,
x₂ = 0,44 + 0,04x₁ - 0,04x₃ + 0,2x₄ + 0,08x₅,
x₃ = 0,95 + 0,1x₁ + 0,05x₂ + 0,1x₄ - 0,15x₅,
x₄ = 1 - 0,1x₂ + 0,1x₃ + 0,5x₅,
x₅ = 1,6 + 0,05x₁ + 0,1x₂ + 0,05x₃ + 0,1x₄
ko`rinishda yozib olamiz va dastlabki yaqinlashish x sifatida oddiy iteratsiya usulidagidek x =(0,6; 0,44; 0,95;1; 1,6) deb olamiz.
Iteratsiyaning birinchi qadamini bajaramiz:
x₁⁽¹⁾ = 0,6 – 0,1 x₂⁽⁰⁾ + 0,3x₃⁽⁰⁾ +0,2x₄⁽⁰⁾ – 0,1x₅⁽⁰⁾ =
=0,6 – 0,1  0,44 + 0,3  0,95 + 0,2  1 – 0,1  1,6 = 0,881
x₂⁽¹⁾ = 0,44 + 0,04 x₁⁽⁴⁾ - 0,04x₃⁽⁰⁾ +0,2x₄⁽⁰⁾ + 0,08x₅⁽⁰⁾ =
= 0,44 + 0,04  0,881 - 0,04  0,95 + 0,2  1 – 0,08  1,6 = 0,771
x₃⁽¹⁾ = 0,95 + 0,1 x₁⁽¹⁾ + 0,05x₂⁽¹⁾ +0,1x₄⁽⁰⁾ – 0,1x₅⁽⁰⁾ =
= 0,95 + 0,1  0,881 + 0,05  0,771 + 0,1  1 – 0,15  1,6 = 0,937
x₄⁽¹⁾ = 1 – 0,1 x₂⁽¹⁾ + 0,1x₃⁽¹⁾ +0,5x₅⁽⁰⁾ = 1,817
x₅⁽¹⁾ = 1,6 + 0,05x₁⁽¹⁾ + 0,1x₂⁽¹⁾ + 0,05x₃⁽¹⁾ +0,1x₄⁽¹⁾ = 1,948

Keyingi yaqinlashishlarni 3.5- jadvalda keltiramiz:

3.5-jadval

k
0	0,6	0,44	0,95	1	1,6
1	0.881	0,771	0,937	1,817	1,948
2	0,973	0,961	0,985	1.974	1,992
3	0,995	0,995	0,999	1,996	1,999
4	0,9995	0,9991	0,9997	1,9995	1,9998
5	0,99992	0,99989	0,99997	1.99991	1,99997
6	0,99999	0,99998	0,99999	1,99999	2.00000

Ko`rinib turibdiki, Zeydel usuli oddiy iteratsiya usuliga nisbatan tezrok yaqinlashmoqda.
MT 6.
M: Eng kichik kvadratlar usuli. Uzluksiz ko’rinishda berilgan funksiya uchun.

1. 
   Eng kichik kvadratlar usuli.
   
2. 
   Eng kichik kvadratlar usulining xatosini baholash.
   

Eng kichik kvadrat usuli(ingliz adabiyotida Oddiy eng kichik kvadratlar, OLS) - bu berilgan eksperimental ma'lumotlar massividagi nuqtalarga eng yaqin joyda qurilgan, yaqinlashuvchi funktsiyani aniqlashga asoslangan matematik usul. F(x) boshlang‘ich va yaqinlashuvchi funksiyalarning yaqinligi sonli o‘lchov bilan aniqlanadi, ya’ni: F(x) yaqinlashtiruvchi egri chiziqdan eksperimental ma’lumotlarning kvadratik og‘ishlari yig‘indisi eng kichik bo‘lishi kerak.
Eng kichik kvadratlar usuli bilan tuzilgan egri chiziq
Eng kichik kvadratlar usuli qo'llaniladi:
Tenglamalar soni noma'lumlar sonidan oshib ketganda ortiqcha aniqlangan tenglamalar tizimini yechish;
Oddiy (ortiqcha aniqlanmagan) chiziqli bo'lmagan tenglamalar tizimlarida yechim izlash;
Ba'zi bir yaqinlashuvchi funktsiya orqali nuqta qiymatlarini taxmin qilish uchun.
Eng kichik kvadratlar usuli bilan yaqinlashuvchi funktsiya berilgan eksperimental ma'lumotlar massividan hisoblangan yaqinlashuvchi funktsiyaning kvadrat og'ishlarining minimal yig'indisi shartidan aniqlanadi. Eng kichik kvadratlar usulining bu mezoni quyidagi ifoda sifatida yoziladi:
∙ Agar yaqinlashuvchi funktsiyaning darajasi m=2 bo'lsa, jadval funksiyasini kvadratik parabola (kvadrat yaqinlik) bilan yaqinlashtiramiz.
∙ Agar yaqinlashuvchi funktsiyaning darajasi m=3 bo'lsa, jadval funksiyasini kubik parabola bilan yaqinlashtiramiz (kubik yaqinlik).
Umumiy holda, berilgan jadval qiymatlari uchun m gradusli taqribiy ko'phadni qurish zarur bo'lganda, barcha tugun nuqtalari bo'yicha kvadrat og'ishlarning minimal yig'indisi sharti quyidagi shaklda qayta yoziladi:
- m darajali yaqinlashuvchi ko'phadning noma'lum koeffitsientlari;
Belgilangan jadval qiymatlari soni.
Funktsiyaning minimal mavjudligi uchun zaruriy shart uning noma'lum o'zgaruvchilarga nisbatan qisman hosilalarining nolga tengligidir. . Natijada biz quyidagi tenglamalar tizimini olamiz:

Hosil bo‘lgan chiziqli tenglamalar tizimini o‘zgartiramiz: qavslarni oching va erkin shartlarni ifodaning o‘ng tomoniga o‘tkazing. Natijada chiziqli algebraik ifodalar tizimi quyidagi shaklda yoziladi:

Ushbu chiziqli algebraik ifodalar tizimini matritsa shaklida qayta yozish mumkin:

Natijada, m + 1 noma'lumlardan tashkil topgan m + 1 o'lchamli chiziqli tenglamalar tizimi olindi. Ushbu tizim chiziqli algebraik tenglamalarni echishning har qanday usuli (masalan, Gauss usuli) yordamida echilishi mumkin. Yechish natijasida yaqinlashuvchi funktsiyaning dastlabki ma'lumotlardan kvadratik og'ishlarining minimal yig'indisini ta'minlovchi noma'lum parametrlar topiladi, ya'ni. mumkin bo'lgan eng yaxshi kvadratik yaqinlashish. Shuni esda tutish kerakki, agar dastlabki ma'lumotlarning bitta qiymati o'zgarsa, barcha koeffitsientlar o'z qiymatlarini o'zgartiradi, chunki ular dastlabki ma'lumotlar bilan to'liq aniqlanadi.