Bajardi: Tilakov J. Tekshirdi: Xo’jayev L. 2023-2024-yil Mavzu: To‘plamlarda guruhlashlar, ular sonini aniqlash Reja

Takrorlanuvchi guruhlashlar.
Ta’rif.
n ta elementli to‘plamning barcha tartiblanmagan takrorlanuvchi k ta elementli qism to‘plamlarini ajratish takrorlanuvchi guruhlash deyiladi
S to`plamning elementlari 1;2;…;n sonlari bilan raqamlangan bo`lsin. S to`plam chekli yoki sanoqli bo`lgani uchun, har doim S to`plam elementlari va N natural sonlar to`plami elementlari o`rtasida bir qiymatli moslik o`rnatish mumkin. U holda S to`plam o`rniga o’zaro bir qiymatli moslik kuchiga asosan, unga ekvivalent bo`lgan S<sup>/</sup> {1;2;...;n} to`plamning С_n^k guruhlashlarini topish mumkin.
S^/ to`plamning har qanday tanlanmasini {n n<sub>1</sub>; <sub>2</sub>;...;n<sub>k</sub>} ko`rinishda yozish mumkin, bunda n₁  n₂ ... n_k ketma-ketlik o’rinli bo’lib, “tenglik” amali tanlanma takrorlanuvchi bo`lishi mumkinligini bildiradi.
k ta elementli tanlanma {n n<sub>1</sub>; <sub>2</sub>;...;n<sub>k</sub>} ga k ta elementli to`plam {n n₁; ₂ 1;...;n_k k 1} ni mos qo`yamiz, bunda elementlar turlicha bo`ladi.
{n n₁; ₂;...;n_k} va {n n₁; ₂ 1;...;n_k k 1} to`plamlar orasidagi moslik yana o`zaro bir qiymatli bo`lib, {n n<sub>1</sub>; <sub>2</sub> 1;...;n<sub>k</sub> k 1} to`plam S^/ ∪{1;2;...;k 1} to`plamdan n k 1 tadan takrorlanmaydigan k elementli guruhlash bo`ladi.
U holda takrorlanmaydigan С_{n k}^k_{ 1} guruhlashlar soni ^C~_n^k takrorlanuvchi guruhlash soniga teng bo’ladi, ya`ni
_C~nk _Сn kk_{ }1 _ (n k 1)!1)!_ n n( 1) ... ( k! n k 1) k n!(
Teorema.
n ta elementdan k ta elementli takrorlanuvchi guruhlashlar soni
~^k С_{n k}^k_{ 1} ga teng.
C_n
Misol. 30 ta talabadan 20 tasi o‘g‘il bolalar, tavakkaliga jurnaldagi ro’yhat bo‘yicha 5 talaba chaqirildi, ularning ichida ko‘pi bilan 3 tasi o‘g‘il bola bo‘ladigan qilib necha xil usulda tanlash mumkin?
Yechilishi: Masala shartida berilgan to‘plamni sodda to‘plamlar
yig‘indisi shaklida yozib olamiz:
A={0 tasi o‘g‘il bola, 5 tasi qiz bola}
B={1 tasi o‘g‘il bola, 4 tasi qiz bola }
C={2 tasi o‘g‘il bola, 3 tasi qiz bola }
D={3 tasi o‘g‘il bola, 2 tasi qiz bola }
{Ko‘pi bilan 3 tasi o‘g‘il bola}=A B C D kesidhmaydigan to‘plamlar yig‘indisining quvvati, ushbu to‘plamlar quvvatlari yig‘indisiga teng bo‘ladi: