Basqa aksiomatikaliq teoriyalar Reje

Jıynaqlardin’ aksiomatikaliq teoriyası haqqında túsinikler.
XX ásirdiń basına kelip, Kantorning matematikanı standartlastırıw boyınsha programmasınıń hasası bolǵan hám “jıynaqlaming ápiwayı teoriyası” dep da atalıwshı jıynaqlar teoriyası jetilisken emesligi málim boldı. Jıynaqlardıń ápiwayı teoriyasın úyreniw processinde Rassel paradoksga kelip qaldı. Kantorning jıynaqlar teoriyası ishki qarama-qarsılıqǵa iye ekenligi Rassel paradoksi retinde kórsetilgen.
Rassel paradoksi. Shama menen oylayıq, K - ózin element retinde ózinde saqlamaǵan barlıq jıynaqlar kompleksi bolsın. Ol halda, K - ózin element retinde saqlaydimi? Eger bul sorawǵa “ha” dep juwap berilsa, K jıynaqtıń anıqlanıwına kóre, ol K dıń elementi bolmawi kerek -qarama-qarsılıq. Eger “joq ” dep juwap berilsa, taǵı K jıynaqtıń anıqlanıwına kóre, ol jıynaq retinde K dıń elementi bolıwı kerek - taǵı qarama-qarsılıq.
Házirgi zaman jıynaqlar teoriyası aksiomalar sistemasına tiykarlanǵan bolıp tabıladı. Qanday da aksiomalarga tiykarlanǵan teoriya aksiomatikaliq teoriya dep júritiledi. Jıynaqlardıń aksiomatikaliq teoriyasında bunday aksiomalar sisteması retinde standart sistema esaplanǵan Sermelo-Frenkel aksiomalari sistemasın keltiriw múmkin. Jıynaqlar teoriyasında, kóbinese, bul sistemaǵa tańlaw aksiomasi dep atalıwshı hákisiomani da qosıp alıp, tańlaw aksiomasi qatnasqan Sermelo-Frenkel aksiomalari sisteması menen jumıs kóriledi. Bul aksiomalar sistemasınan tısqarı basqa aksiomalar sistemalarınan da paydalanıladı. Mısalı, fon Neyman-Bemeyss-Gyodel sisteması.
Tómende tańlaw aksiomasi qatnasqan Sermelo-Frenkel aksiomalari sistemasına kiretuǵın birpara aksiomalarni keltiremiz.
Kólemliklik aksiomasi. Eki A hám V jıynaqlar tek hám tek áyne birdey elementlerden ibarat bolsaǵana teń bolıp tabıladı.
Bos jıynaq aksiomasi. Qandayda-bir de elementke iye bolmaǵan jıynaq, yaǵnıy bos jıynaq bar. B o'sh jıynaq ushın belgisi qollanıladı.

Juplıq aksiomasi. Qálegen Ava V jıynaq lar ushın sonday S jıynaq barki, bul jıynaq elementleri tek A hám V jıynaqlardan ibarat esaplanadi (yaǵnıy, A hám V jıynaqlar S dıń birden-bir elementleri bolıp tabıladı). S jıynaq {A, B} kóriniste belgilenedi. Bul {A, B} ańlatpa A hám V dıń tártiplenbegen juftligi dep júritiledi. Eger A hám V jıynaqlar teń bolsa, ol halda S bir elementten ibarat esaplanadi.

Tańlaw aksiomasi. Bos bolmaǵan hám óz-ara kesilispeytuǵın jıynaqlar kompleksindegi hár bir jıynaq den birden “wákil”-element tańlap, sol elementler kompleksi C ni dúziw múmkin. X jıynaq sol komplekstiń qanday elementi bolıwınan qaramastan X hám S jıynaqlar tek ǵana bir ulıwma elementke iye boladı.

Álbette, bul aksiomalar (sonday-aq, tańlaw aksiomasi qatnasqan Sermelo-Frenkel aksiomalari sistemasınıń basqa aksiomalari da ) bizge óz-ózinen oydin bolǵan tastıyıqlerge uqsap tuyuladi, sebebi biziń oylawımız jıynaqlar kompleksin chekli dep tassavvur etiwge úyrengen. Jıynaqlar kompleksi chekli bolǵan halda, mısalı, tańlaw aksiomasini túsiniw qıyın emes. Tańlaw aksiomasi sheksiz jıynaqlar ushın qollansa, geyde, tartıslarǵa sebep bóliwshi júdá qızıq tastıyıqler payda boladı. Bul pikirdi tastıyıqlaw maqsetinde Banax-Tarskiy paradoksi (shaming ikkilanishi) hám Xausdorf paradoksi bar ekenligin aytymiz.

Joqarıda keltirilgen aksiomalardan, atap aytqanda, kólemliklik aksiomasidan, jıynaqlar boyınsha kóplegen tastıyıqlami tastıyıqlawda paydalanamız.
Kólemliklik aksiomasini basqasha ańlatıw da múmkin. A jıynaqtıń hár bir elementi V jıynaqta da ámeldegi hám, kerisinshe, V jıynaqtıń hár bir elementi A jıynaqta da ámeldegi bolsa, ol halda A hám V jıynaqlar teń bolıp tabıladı. A hám V jıynaq larning teńligin A = V yamasa V = A kóriniste ańlatpalaymız. Tiykarınan, A = V bolsa, ol halda A hám V jıynaqlar áyne bir jıynaqtıń hár túrlı belgileniwi bolıp tabıladı. Mısalı, onlıq sanaq sistemasındaǵı jazıwdıń aqırǵı nomeri 1, 3, 5, 7 yamasa 9 nomerlerinen biri bolǵan natural sanlar kompleksin A menen, birni qosqanda ekige qaldıqsız bólinetuǵın natural sanlar kompleksin bolsa V menen belgilesak, ol halda A = V boladı. A = V jazıw jıynaqlar daǵı elementlerdiń qaysı tártipte jaylasıwına baylanıslı emes. Álbette, jıynaqtaǵı elementlerdi qaysı tártipte qoyıw máselesi de aktual bolıp tabıladı. A hám V jıynaqlar teń bolmasa, ol halda bul halda yamasa kóriniste ańlatıladı.
Jıynaqlar teoriyasında quwat eń zárúrli túsiniklerden biri bolıp, ol jıynaqlardı salıstırıwlawda úlken áhmiyetke iye esaplanadı. Jıynaqtıń quwatı túsinigi, onıń chekli yamasa sheksiz bolıwına qaray tariyplanadi. Quwat túsinigi tuwrısında tolıq maǵlıwmattı jıynaqlar teoriyasına arnalǵan dereklerden tabıw múmkin. Diskret matematikada, tiykarlanıp, chekli jıynaqlar menen jumıs kóriledi. Usınıń sebepinen, jıynaqtıń quwatı túsinigin tek chekli jıynaqlar ushın keitirish menen shegaralanamız.
2- ta’riyp. Chekli jıynaqtıń elementleri sanı sol jıynaqtıń quwatı dep ataladı.
Berilgen A jıynaqtıń quwatı kóriniste belgilenedi.
1-mısal. Bul jıynaqlar berilgen bolsın : A = {a}, V = {a, b}, S = {a, b, c, d, e}, D = { 1, 2, 3, …, n}, E = {m \ m = 2 z}, F ={2, 3, 5, 7, …, p,... }, bul jerde n- natural san, z - pútkil san, p - túpkilikli san. Berilgen altı jıynaqtan tórtewi - A, V, S hám D jıynaqlar chekli, E hám F jıynaqlar bolsa sheksiz jıynaqlar bolıp tabıladı. Bunnan tısqarı,.
Berilgen A jıynaqǵa a element tiyisliligi yamasa kóriniste belgilenedi hám “a tiyisli A” dep oqıladı. “Tiyisli” sóz dizbeginiń ornına, geyde, “qarawli” yamasa “tiyisli” sóz dizbegi de qollanıladı. Qanday da b dıń A jıynaqǵa tiyisli emesligi, yaǵnıy b dıń A jıynaq elementi bolmawi yamasa kóriniste jazıladı. Mısalı, A ={2, 4, 6, 8, 10} jıynaq ushın (bulardıń ulıwmalastırıp, kóriniste jazıw da múmkin), lekin (yaǵnıy,).
Tuwrısıda, túrli jıynaqlar ushın ulıwma elementler ámeldegi bolıwı múmkin. Mısalı, A { 2, 4, 6, 8, 1 0 } hám B = { 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8} jıynaqlarda 2, 4, 6, 8 elementler eki jıynaqta da bar bolıp tabıladı.

3 - ta’riyp. Eger V jıynaqtıń hár bir elementi A jıynaqta da ámeldegi bolsa, ol halda V jıynaq A jıynaqtıń bólim kompleksi dep ataladı.

V jıynaq A jıynaqtıń bólim kompleksi ekenligi yamasa kóriniste belgilenedi. Tuwrısıda, bul belgilewler A hám V jıynaqlardıń teń bolǵan holiniham názerde tutadı. hám bo'liishidan A = V kelip shıǵadı. Bul teńlik jıynaqtıń o 'zi óziniń bólim kompleksi bóle alıwı múmkinligin kórsetedi, y a'ni (yamasa ) kórinistegi jazıw da mániske iye esaplanadı. Hár qanday jıynaq dıń ózi óziniń bólim kompleksi bóle alıwı jıynaqlardıń refleksivlik ózgesheligi dep júritiledi.
4- ta’riyp. V jıynaqtıń hámme elementleri A jıynaqta bar bo 'lib, usınıń menen birge A jıynaq de V ga kirmagan element (lar) da tapılsa, ol halda V tap 'plam A tap 'plardin’ tán bólim kompleksi dep ataladı.
V jıynaq A jıynaqtıń tán bólim kompleksi bolıwı yamasa kóriniste belgilenedi.
Sol sebepli, bul jaǵdaydı ańlatıw maqsetinde, hár qanday jıynaq “ózi óziniń xosmas bólegi” degen sóz dizbeginen paydalanıladı. Jıynaqlar teoriyasında bos jıynaq hár qanday bos bolmaǵan A jıynaq dıń bólim kompleksi dep qaraladı, yaǵnıy. Tuwrısıda, bos jıynaqtıń quwatı nolge teń, biraq bos jıynaqtı birden-bir element retinde saqlawshı jıynaqtıń quwatı birge teń bolıp tabıladı, y a'ni, lekin. Qanday da a tastıyıqning orınlı bolıwınan basqa b tastıyıqning orınlı bolıwı kelip shıqsa, bul jaǵday dep belgilenedi. Mısalı, ( hám ) A = V