Basqa aksiomatikaliq teoriyalar Reje

Matematikada aksiomatikaliq metod
Matematikada aksiomatikaliq metod áyyemgi grek matematikalıqlarınıń jumıslarında payda boldı. Buǵan baylanıslı Yevklidning “negizler” dep atalıwshı geometriyalıq sisteması bólek itibarǵa ılayıq bolıp tabıladı. Yevklidning bul shıǵarması XIX asrgacha aksiomatikaliq metoddıń joqarı úlgisi retinde xızmet etdi. Eramızdan 300 jıl aldın jazılǵan bul shıǵarmada Yevklid birinshi ret aksiomalar dep atalıwshı hám rostligi shubha tuwdırmaydigan bir qansha oy-pikir (dawa ) lardan sap deduktiv jol menen, yaǵnıy sap logik (logikalıq ) oy-pikirler járdeminde geometriyalıq teoriyanıń pútkil mazmunın keltirip shıǵarıw múmkinligin kórsetken.
XIX asirdebuyuk orıs matematigi N. I. Lobocchevskiy hám venger matematigi Ya. Bolyan tárepinen neovklid geometriyaning jańalıq ashılıwı aksiomatikaliq metoddıń rawajlanıwda jańa tekshe boldı.
Olar Yevklid geometriyasi aksiomalari sistemasına kiretuǵın (parallel tuwrı sızıqlar haqqındaǵı ) v postuladni onıń biykarı menen almastıridilar hám nátiyjede payda bolǵan aksiomalarning jańa sisteması keń mazmunga iye bolǵan jańa geometriya qurawın kórsetdiler.
Sonday etip, aksiomatikaliq metod matematikalıq teoriyalerdi qurıw hám úyreniwde kúshli apparat ekenligi XIX ásir matematikalıqları tárepinen tolıq -to'kis tán alıw etildi jáne bul aparat matematikada keń kólemde qollanila baslandı.
Aksiomatikaliq metoddıń mazmunı neden ibarat?
Ádetde, qanday da predmetler (obiektler) sistemasın úyreniwde bul predmetlerdiń hossalari hám olar arasındaǵı munasábetlerdi bildiriwshi terminlerden paydalanamız. lar sonday hossa hám munasábetler bolsın. Sol hossa hám munasábetlerdi óz ishine alǵan bir neshe l\mulohazalarni alamız hám de olardı aksiomalar dep aytamiz.

Tuwrısıda, sonday jıynaq ámeldegi bolıwı múmkin, eger larni bul jıynaqta anıqlasaq, ol halda bul jıynaq elementleri joqarıdaǵı aksiomalar sistemasın qánaatlantiradilar. Birpara aksiomalar sisteması ushın bunday (bos bolmaǵan ) jıynaqlardıń tabilǵan zatsligi da tábiyiy bolıp tabıladı. Mısalı, tómendegi munasábetti alaylıq : “ den aldın keledi”. Bul munasábetti hár túrlı jıynaqlarda hár túrlı anıqlaw múmkin: adamlar kompleksinde “ den biyik”, “ den jeńil”, “ dıń jası dıń jasından kishi” hám taǵı basqa, natural sanlar kompleksinde bolsa hám taǵı basqa. Usı munasábetti óz ishine alǵan tómendegi aksiomalarni alaylıq : 5. “Hár qanday óz-ózinen aldın kelmeydi”. 6. “Hár qanday lar ushın eger den aldın kelse hám den aldın kelse, ol halda d an aldın keledi”. Ayqınki, sonday bos bolmaǵan jıynaq tabıw múmkin, eger ol jaǵdayda munasábetti jetkiliklishe “jaqsı” anıqlasaq, bul jıynaqtıń elementleri joqarıdaǵı aksiomalarni qánaatlantıradı (mısalı, joqarıdaǵı keltirilgen jıynaqlar hám munasábetler). Bunnan tısqarı, joqarıdaǵı aksiomalarni qánaatlantıratuǵın jıynaqlar birden-bir emesligin seziw qıyın emes. Sonday etip, hár birinde bir munasábet anıqlanǵan hám elementleri 1) hám 2) aksiomalarni qánaatlantıratuǵın jıynaqlar málim bir sinfni quraydı. Ol halda, bul aksiomalarni usı klasqa kirgen jıynaqlardıń tariypi dep qaraw múmkin. Barlıq obiektler (predmetler) kompleksinen 1) hám 2) aksiomalar járdeminde ajıratıp alınǵan. Bunday jıynaqlar berilgen aksiomalar sistemasınıń interpretatsiyasi dep ataladı. Qandayda bir matematikalıq teoriyanı aksiomatikaliq qurıw bul teoriyada uyreniletuǵın tiykarǵı obiektler hám olar arasındaǵı munasábetlerdi keltiriwden baslanadı. Bul obiektler hám munasábetler aksiomatikaliq teoriyanıń tiykarǵı túsinikleri dep ataladı. Aksiomatikaliq teoriyanıń qalǵan túsinikleri bolsa tiykarǵı túsinikleri arqalı tariyplanadi; keyininen aksiomatikaliq teoriyanıń tuwrı dúzilgen formula (TT formula ) lari kompleksi payda etinadi jáne bul jıynaqtıń birpara (ádetde chekli sandaǵı ) formulaları aksiomalar dep daǵaza etiledi. Aksiomatikaliq teoriyaǵa onıń aksiomalar sistemasınan jańa keltirip shıǵarılıwshı formulalar (teoremalar) ni payda etiw quralı bolǵan keltirip shıǵarıw qaǵıydaları kiritilgach, bul teoriya deduktiv teoriyaga1 aylanadı. Aksiomalar sistemasınan payda etinadigan barlıq formulalar kompleksi aksiomatikaliq sistemanıń mazmunın yamasa tilin quraydı.

Biz algebraik sistemalar temasini kórip ótkenimizde onıń tiykarǵı kompleksi qálegen elementlerden dúzilgen bolıwı múmkin degen edik. Eger qaralayotgan sistemalardıń tiykarǵı kompleksi elementleri sanlardan ibarat bolsa, bundau sistemalar ádetde sanlı sistemalar dep júritiledi. Sanlı sistemalardı qurıwdıń tiykarǵı eki bar. Olardan biri aksiomatikaliq usıl bolıp tabıladı. Bul usıl jıynaq túsinigine tiykarlanǵan bolıp, daslep natural sanlar, keyininen rasional, haqıyqıy hám kompleks sanlar sistemaları qaraladı. Sanlar sistemaların aksiomatikaliq usılda qurıwda bolsa hár bir sistemanıń tiykarǵı ózgeshelikleri aksiomalar járdeminde beriledi. Endi natural sanlar sistemasın aksiomatikaliq usılda aytamız. Onıń ushın tiykarǵı baslanǵısh munasábet retinde munasábeti jáne bul munasábet ushın orınlı bolǵan aksiomalar sistemasın alamız. Tariyp : Qandayda bir bosmas jıynaqtıń hám elementleri ushın “ element tikkeley elementten keyin keledi” munasábeti orınlı bolıp, usı jıynaq elementleri ushın tómendegi tórtew hákisioma atqarılsa, ol halda jıynaqtıń elementleri natural sanlar dep ataladı : 1) hesh qanday natural sandan keyin kelmaytuǵın sanı ámeldegi (eger sandan tikkeley keyin keletuǵın elementti kóriniste jazıladı ); 2) qálegen natural san ushın odan tikkeley keyin keletuǵın natural san birden-bir bolıp tabıladı, yaǵnıy 3) 1 sanınan basqa qálegen natural san bir hám tek bir natural sandan keyin keledi, yaǵnıy ( 4) eger natural sanlar kompleksiniń qálegen bólim kompleksi: a) 1 ni óz ishine alsa ; b) qálegen elementtiń de bolıwınan dıń da de bolıwı kelip shıqsa, bólim jıynaq natural sanlar kompleksi menen ústpe-úst túsedi, yaǵnıy Natural sanlar teoriyasın aksiomatikaliq qurıwda Peano (1858-1932) tariyplanmaydigan tushunch retinde '' natural son'' hám tariyplanmaydigan munasábet retinde «… den keyin keledi» degen munasábetti tiykar etip alǵan.
Peano aksiomalari tómendegiler:
1. Hesh qanday sandan keyin kelmaytuǵın sanı bar. Bul hákisiomadan usıdan ayqın boladı, natural sanlar kompleksinde birinshi element anıqlanǵan bolıp, ol sanınan ibarat esaplanadi.
2. Hár qanday san ushın odan keyin keletuǵın bir ǵana sanı ámeldegi Yaǵnıy bolsa boladı. Bul hákisioma natural sanlar kompleksiniń sheksiz ekenligin ańlatadı. Haqıyqattan da, natural sanlar kompleksi sheksiz, sebebi qálegen natural sandan tikkeley keyin keletuǵın natural san bar.
3. Qálegen san tikkeley birden artıq bolmaǵan sandan keyin keledi, yaǵnıy den ekenligi kelip shıǵadı. Bul hákisiomadan usıdan ayqın boladı, berilgen natural sandan náwbettegi sanǵa bir neshe ret ótilgende de barlıǵı bir tek hám tek bir sannıń ózi keledi, sebebi keri jaǵdayda náwbettegi san hesh bolmaǵanda eki sannıń ketidan kegan bo'lar edi. Sonday eken, natural sanlar kompleksi qatań tártiplengen jıynaq bolıp tabıladı.
4. Eger qandayda bir qaǵıyda sannı ushın orınlı ekenligi tastıyıqlanǵan bolsa jáne onıń natural sanı ushın orınlı ekenliginen náwbettegi natural san ushın tuwrılıǵı kelip shıqsa, bul qaǵıyda barlıq natural sanlar ushın orınlı boladı. Bul hákisioma matematikalıq induksiya aksiomasi dep ataladıva oǵan matematikalıq induksiya metodı tiykarlanadı. Natural sanlar kompleksindegi barlıq sanlar ushın “teńlik”mu nosabati tómendegi ózgesheliklerge iye: Refleksivlik ózgesheligi. Hár qanday natural san óz-ózine teń bolıp tabıladı, yaǵnıy
Simmetriklik ózgesheligi. Eger hár qanday natural san natural sanǵa teń bolsa, ol halda natural san natural sanǵa teń boladı yaǵnıy
Tranzitivlik. Eger natural san natural sanǵa, natural san natural sanǵa teń bolsa, ol halda natural san natural sanǵa teń boladı

Paydalanilg’an ádebiyatlar dizimi
1. Xamedova N. A, Ibragimova Z, Tasetov T. Matematika. Sabaqlıq. T.:Turan -ıǵbal, 2007. 363 b. (70-73 betlar).
2. D. Yunusova, A. Yunusova “Algebra hám sanlar teoriyası” TOSHKENT- 2007.
3. R. N. Názerov, B. T. Toshpo'latov, A. D. Do'sumbetov “Algebra hám sanlar teoriyası” TOSHKENT 1993.
4. SH. N. ISMOILAń “Sanlar nazriyasi” Tashkent-2008
5. B. Abdurahmonov “Matematikalıq induksiya metodi” Tashkent- 2008.
6. “Matematikalıq logika” SOATAń