Berdaq nomidagi qoraqalpoq davlat universiteti matematika fakulteti

1.2-§. Topologik fazo bazasi va old bazasi

Birorta bo‘sh bo‘lmagan to‘plamda ma’lum bir topologiyani kiritish uchun uning barcha ochiq to‘plamlarini ko‘rsatish doimo ham shart bo‘lavermaydi. Buning uchun uning biron-bir ochiq to‘plamlari jamlanmasini ko'rsatish yetarlidir. Ochiq to‘plamlar jamlanmasi ma’lum bir xossalarga ega bo‘ladi. Bu xossalar shu topologiyaning bazasini aniqlaydi.
1.2.1-ta’rif. Agar fazoning ixtiyoriy bo‘sh bo‘lmagan U ochiq to‘plami jamlanmaga tegishli bo‘lgan elementlarning birlashmasidan iborat bo‘lsa, ( ; ) topologik fazoning ochiq to‘plamlaridan tashkil topgan bu p to‘plamlar jamlanmasi topologiyaning bazasi yoki fazoning bazasi deyiladi.
Ta’rifdan ma’lum bo‘ladiki, har bir ( ; ) fazo bazaga ega. Ma’lumki, barcha ochiq to‘plamlardan tashkil topgan jamlanma uning bazasini tashkil qiladi.
1.2.2-ta’rif. Agar nuqtaning shunday U atrofi topilganda, bu atrof bilan M to‘plamning kesishmasi faqat nuqtadan iborat, ya’ni bo‘lsa, topologik fazoning nuqtasi M to‘plamostisining yakkalangan nuqtasi deyiladi.
( ; ) topologik fazo uning nuqtasi bo‘lsin.
1.2.3-ta’ri£ Birorta nuqtaning ( ; ) fazodagi atrofi deb shunday to‘plamostiga aytiladiki, u quyidagi ikki shartni qanoatlantiradi:
1) ;
2) shunday topiladiki, .
Bu ta’rifdan ko‘rinadiki, ( ; ) topologik fazoning ixtiyoriy nuqtasi uchun X to‘plamning o‘zi atrof bo‘la oladi. Birorta nuqtaning barcha atroflaridan tashkil topgan to‘plamlar oilasiga kelsak, bu oila quyidagi xossalarga egadir:
1) ixtiyoriy sondagi elementlarining birlashmasi yana X ning atrofidan iborat bo‘ladi;
2) ixtiyoriy chekli sondagi elementlarining kesishmasi yana x ning atrofi bo‘ladi;
3) x nuqtaning birorta atrofini o‘zida saqlagan ixtiyoriy to‘plam x nuqtaning atrofi bo‘ladi.
Shuni ta’kidlashimiz kerakki, X fazo birorta nuqtasining ochiq atrofi deb shu nuqtani o‘zida saqlagan ixtiyoriy ochiq to‘plamga aytiladi.
1.2.4-teorema. ( ; ) topologik fazoda A to‘plam ( ) ochiq to‘plam bo‘lishi uchun mazkur A to‘plam har bir nuqtasining atrofini o‘zida saqlashi zarur va yetarlidir. Topologik fazo bazasi ta’rifidan va nuqtaning atrofi tushunchasidan ayon bo‘ladiki, fazoning barcha yakkalangan nuqtalari (agar shunday nuqtalar mavjud bo‘lsa) baza elementlari safiga kirar ekan.
1.2.5-teorema. ( ; ) topologik fazoning ochiq to‘plamlaridan tashkil topgan jamlanma fazoning bazasi bo‘lishi uchun ixtiyoriy nuqtaning atrofi U uchun shunday topilib, shart bajarilishi zarur va yetarlidir. Bu teoremadan ma’lum bo‘ladiki, topologik fazo bazasi quyidagi ikki xossaga ega:
1°. jamlanmaga tegishli barcha elementlaming birlashmasi butun X fazodan iborat.
2°. jamlanmaning ixtiyoriy ikki elementi U, V va ixtiyoriy uchun shunday topiladiki, shart o‘rinli bo‘ladi.
Shunday qilib, bu ikki xossadan ko‘rinadiki, birorta ochiq to‘plamlar sistemasi fazoning bazasi boiishi uchun yuqoridagi ikki xossaga ega bo‘lishi zarur ekan. Bu ikki xossa X to‘plamdagi topologiyaning bazasini to‘la xarakterlaydi. Demak, baza orqali ham topologiyani kiritish mumkin ekan.
1.2.6-teorema. Bo‘sh bo‘lmagan X to‘p!amda yuqoridagi ikki 1°- 2°-shartlarni qanoatlantiruvchi to‘plamlar sistemasi aniqlangan bo‘lsin. U holda X to‘plamda shunday yagona topologiya mavjud bo‘ladiki, bu topologiya uchun sistema baza bo'ladi. Mabodo birorta X to‘plamning to‘plamostilari sistemasi berilgan va agar bu sistema elementlari uchun shart o‘rinli bo‘lsa, V sistema X to‘plamning qoplamasi deyiladi. Agar qoplamaning elementlari ochiq to‘plamlardan tashkil topgan bo‘lsa, u qoplama ochiq qoplama deb yuritiladi. Agarda { } to‘plamostilar sistemasi X to‘plamning ixtiyoriy qoplamasi bo‘lsa, tabiiy savol tug‘iladi: qanday shart bajarilsa, to‘plamning ixtiyoriy qoplamasiga ko‘ra X to‘plamda biron-bir topologiyani aniqlash mumkinmi? Bu savolga quyidagi teorema javob beradi.
1.2.7-teorema. { } sistema X fazoning qoplamasi bo‘lsin. { - ixtiyoriy chekli to'plam} jamlanma tabiiy topologiya vujudga keltiradi va V sistema topologiyaning bazasini tashkil qiladi.
Demak, X to‘plamning qoplamasi { } ushbu to‘plamda topologiya tashkil qilar ekan. Bu topologiyada ko‘rinishdagi barcha mumkin bo‘lgan birlashmalar va bo‘sh to‘plam ochiq to‘plamlar sinfini tashkil qiladi.
1.2.8-ta’rif. ( ; ) topologik fazoning ochiq to‘plamlaridan tashkil topgan sistemaning ixtiyoriy sondagi chekli elementlari kesishmasi topologiya bazasini tashkil qilsa, u topologik fazoning old bazasi deyiladi.
Bu ta’rifdan ko‘rinadiki, topologiyaning ixtiyoriy bazasi old baza bo‘la oladi. Lekin buning teskarisi har doim ham o‘rinli emas.
1.2.9-misol. Endi to‘g‘ri chiziq yoki haqiqiy sonlar to‘plami bo‘lsin. va to‘plamlar sistemasini olaylik. Bu to‘plamlar sistemasi sonlar chizig‘i dagi tabiiy topologiyaning old bazasini tashkil qiladi.
1.2.10-misol. — n o‘lchamli vektor fazo bo‘lsin. Bu fazoda topologiyaning bazasi sifatida ko‘rinishdagi elementlardan tashkil topgan sistemani olamiz, bu yerda - vektorning koordinatasi ; ; lar dagi ixtiyoriy vektorlar, bunda bo‘lsa, fazodagi ko‘rinishdagi to‘plamlar ning ochiq parallelipipedi deb yuritiladi.