Berdaq nomidagi qoraqalpoq davlat universiteti matematika fakulteti

I-Bob. Topologik fazolar

1.1-§. Topologik fazolarning ta’rifi va misollar

Ixtiyoriy “tabiatli” bo‘sh bo‘lmagan to‘plam va sistema (shu to‘plamning to‘plamostilardan tashkil topgan) berilgan bo‘lsin.
1.1.1-ta’rif. Agar sisteraa (to‘plamostilar oilasi) quyidagi:
1)
2) sistemaning ixtiyoriy sondagi elementlarining birlashmasi ga tegishli bo‘lsa, ya’ni uchun
3) sistemaning ixtiyoriy chekli sondagi elementlari kesishmasi ga tegishli bo‘lsa, ya’ni shartlarni qanoatlantirsa, sistema to‘plamdagi topologiya, ( ; ) juftlik esa, birgalikda topologik fazo deyiladi. ( ; ) topologik fazo tashkil qilsa, sistemaning elementlari ochiq to‘plamlar deb ataladi. Bu ta’rifdagi 1-3-shartlar topologiyaning yoki topologik fazoning aksiomalari deb yuritiladi.
Ta’rifdan ma’lumki, to‘plam qanday bo‘lishidan qat’i nazar, topologik fazodagi ochiq to‘plamlar turlicha bo‘lishi mumkin ekan. Ko‘p hollarda, agar ( ; ) topologik fazo bo‘Isa, sistema topologik struktura, to‘plam esa, ( ; ) topologik fazoning yoki topologiyaning ifodalovchisi - eltuvchisi deb ataladi.
1.1.2-misol. Ikki a va b elementlardan iborat to‘plam berilgan deylik. sistema sifatida bo‘sh to‘plam, to‘plamning o‘zini va {a} dan tashkil topgan to‘plamlar oilasini olamiz, ya’ni Bu sistema ta’rifdagi 1-3-shartlarni qanoatlantirishi ravshan. Demak, ( ; ) juftlik topologik fazodir. Bu fazo topologik sodda qurilganiga qaramasdan, muhim va qiziqarli jihatlarga ega bo‘lganligi uchun maxsus nom bilan “bog‘lamli ikki nuqta” deb yuritiladi.
1.1.2-misolda, agar ni ko‘rinishida olsak ham, sistema topologiya tashkil qiladi. Yuqoridagi misollardan ko‘rinadiki, ixtiyoriy bo‘sh bo‘lmagan to‘plamga doimo turlicha topologiya kiritish, ya’ni aniqlash imkoni mavjuddir. Topologiyalarning aniqlanishidan ma’lum bo‘lmoqdaki, ulardagi ochiq to‘plamlar ham turlicha bo‘lishi (topologiyaga qarab) mumkin ekan. Ya’ni, bir topologik strukturaga nisbatan ochiq bo‘lgan to‘plam ikkinchi strukturaga nisbatan ochiq bo‘lmasligi mumkin.
1.1.3-misol. ixtiyoriy, albatta, bo‘sh bo‘lmagan to‘plam deylik. to‘planmani (sistemani) olamiz. Bevosita tekshirib ko‘rish mumkinki, juftlik topologik fazo tashkil qiladi. Ya’ni, ta’rifdagi 1-3-shartlar o‘rinli. Bu topologik fazo trivial yoki antidisret topologik fazo deb yuritiladi.
1.1.4-misol. Ixtiyoriy cheksiz to‘plam berilgan bo’lsin. To‘plamostilar oilasi sifatida va shunday to‘plamostilarni olamizki, to‘plam chekli to‘plamdan iborat bo’lsin, ya’ni chekli, }. Bu yerda bilan to‘plamostining gacha bo‘lgan to‘ldiruvchisi kabi belgilanadi. To‘plamlar ustida bajariladigan amallardan ma’lumki, bu to‘plamlar oilasi ham topologiya tashkil qiladi. Bu topologik fazo Zarisskiy fazosi deb ataladi.
Eslatma: bu yerda bo‘sh to‘plamosti ham chekli to'plam hisoblanadi.
1.1.5-misol. to‘plam sifatida sonlar o‘qini, ya’ni haqiqiy sonlar to‘plami - ni olaylik. dagi topologiya esa, quyidagi to'plamostilar oilasidan tashkil topsin. Bo‘sh to‘plam , ixtiyoriy intervallar va ularning ko‘rinishdagi birlashmasi. Ya’ni,

Haqiqiy o‘zgaruvchilarning funksiyalar nazariyasi kursidan ma’lumki, bu sistema ham topologiya ta’rifidagi 1-3-aksiomalami qanoatlantiradi. Bunday aniqlangan topologiya to‘g‘ri chiziqdagi tabiiy topologiya deb yuritiladi.
1.1.6-misol. to‘plam sifatida Evklid tekisligini olaylik. Ochiq to‘plam sifatida ning ixtiyoriy nuqtasi va markazi shu nuqtada bo‘lgan radiusi yetarlicha kichik bo‘lgan ochiq doiralarni, bo‘sh to‘plamni qarasak, bu barcha ochiq to‘plamlar oilasi topologiya tashkil qiladi.
1.1.7-misol. Bo'sh bo‘lmagan ixtiyoriy to‘plam berilgan bo’lsin. Topologiya sifatida to‘plamning jami to‘plamostilarini olaylik, ya’ni Bu topologik struktura ham da topologiya tashkil qiladi. Bu topologiya , topologiya deb qabul qilingan. Bu topologik fazo diskret topologik fazo deyiladi.