O’ZBEKISTON RESPUBLIKASI OLIY VA O’RTA MAXSUS TA’LIM VAZIRLIGI
BERDAQ NOMIDAGI QORAQALPOQ DAVLAT UNIVERSITETI
fakulteti
kafedrasi
yo’nalishi
“ ” kurs talabasi ning “ ”
fanidan
MUSTAQIL ISH
Mavzu:
Bajardi:
Qabul qildi:
NUKUS 20 yil
Maxsus funksiyalar
Reja:
Silindrik funksiyalar
Bessel funksiyalari uchun hosil qiluvchi funksiyasi
Bessel funksiyalari uchun rekurrent munosabatlar
Bessel funksiyasi uchun integral tasavvur
Bessel funksiyalarining nollari. Ortogonallik munosabatlari
Silindrik funksiyalar
Quyidagi ko’rinishdagi tenglama
x2y′′(x) + xy′(x) + (x2 –ν2)y(x) = 0 (1)
silindrik (yoki Bessel) tenglamasi deyiladi. Keyin ko’ramizki, ushbu tipdagi tenglamalar matematik fizika tenglamalarini silindrik sistemada ochganimizda paydo bo’ladi. Tenglamaning yechimini
k o’rinishda qidiramiz. Tenglamaning yechimini bunday ko’rinishda qidirish Frobenius metodi deyiladi. Hosilalarni topaylik:
O xirgi uchta tengliklarni (1)-ga olib borib qo’yamiz va x-ning har bir darajasi oldidagi koeffisientlarni yig’ib nolga tenglashtiramiz. Umumiy ko’rinishda
B u cheksiz qatorning birinchi bir necha hadlarini ochib yozib olaylik:
x−ning darajasi eng past bo’lgan had xs, uning oldidagi koeffisientlarni yig’amiz:
x s+1−monomning oldidagi koeffisientlarni yig’aylik:
U mumiy ko’rinishda (2)-ning yechimi quyidagicha:
( 3)-dan quyidagi xulosaga kelamiz:
( 4)-dan esa
B izning maqsadimizga
d eb qabul qilish mos keladi. Ko‘rilayotgan differensial tenglama - ikkinchi tartibli, s = −ν hol ikkinchi yechimni berishi kerak, ammo bunday tanlangan ikkinchi yechim ν = n butun son bo‘lgan hollarda mustaqil yechim bo‘lmaydi (buni keyin (11)-formuladan ko‘ramiz). Shuning uchun ikkinchi yechimni boshqacha yo‘l bilan keyin ta’riflaymiz. Demak, (5)-formula quyidagi ko’rinishni oladi:
Bu formulaning nomi - rekurrent munosabat, uni (7)-formula bilan solishtirsak faqat c0, c2, c4, c6,... largina noldan farqli ekanligini ko’ramiz, va c1 = c3 = c5 = ··· = 0 bo’ladi. Ya’ni, faqatgina juft indeksli cn lar noldan farqli. Shu sababdan qulaylik uchun
n = 2k, k = 0, 1, 2, 3,...
d eb olamiz. Bu bizni
f ormulaga olib keladi. Ushbu rekurrent munosabatni yechish qiyin emas:
D emak, quyidagi yechimni topdik:
( 1)-tenglama chiziqli bo’lgani uchun c0 koeffisientni tanlab olish o’zimizning qo’limizda. Odatda uni
k o’rinishda tanlab olish qabul qilingan. Hosil bo’lgan funksiya silindrik, yoki Bessel funksiyasi deyiladi va quyidagicha belgilanadi:
1 -mashq. Agar ν = n butun son bo’lsa
e kanligini ko’rsating. Bessel tenglamasi ikkinchi tartibli tenglama, demak, uning ikkita chiziqli mustaqil yechimi mavjud bo’lishi kerak. Ikkinchi yechimni (6)-ga qarab s = −ν ga mos keladigan qilib tanlab olishimiz mumkin deb o’ylashimiz mumkin, ammo (11)-dan ko’rinib turibdiki, ν = n butun son bo’lgan holda bu yechimlar mustaqil bo’lmaydi. Shu sababdan ikkinchi yechim boshqacharoq ko’rinishda olinadi. Uning ta’rifi:
Bunday tanlab olingan funksiyalar Neumann funksiyalari deyiladi. Ko’rinib turibdiki, ν = n holda bu munosabatning surati va maxraji nolga teng, uni l’Hˆopital qoidasi bo’yicha ochish kerak.
2 -mashq. ν = n butun son bo’lgan holda
e kanligini ko’rsating. Chiziqli tenglama yechimlarining ixtiyoriy chiziqli kombinatsiyasi yana shu tenglamaning yechimi bo’ladi. Masalan,
funksiyalar (ularning nomi - birinchi va ikkinchi tur Hankel funksiyalari) ham Bessel tenglamasi (1)-ning yechimlaridir. Bundan keyin Bessel funksiyalari uchun keltirib chiqariladigan rekurrent munosabatlar mana shu to’rta funksiya uchun o’rinlidir.
Dostları ilə paylaş: |