Bessel funksiyalarining nollari

Bessel funksiyalari uchun hosil qiluvchi funksiyasi
Q uyidagi munosabatni isbot qilaylik:
B u tenglikning chap tomonidagi g(x,t) funksiya Bessel funksiyalarining hosil qiluvchi funksiyasi deyiladi, qator esa shu funksiyaning Laurent qatoridir. Isbot qiyin emas:

Q uyidagi almashtirish kiritaylik: l−k = n, unda l = n + k bo’ladi va n soni −∞ dan ∞ gacha o’zgaradi:

Bessel funksiyalari uchun rekurrent munosabatlar
H osil qiluvchi funksiyadan foydalanib rekurrent munosabatlarni keltirib chiqaraylik. Buning uchun (14)-tenglikdan bir marta t bo’yicha, bir marta x bo’yicha hosila olamiz. t bo’yicha hosila olaylik:
B u tenglikning chap tomonini ochib yozaylik:

T englikning chap va o’ng tomonlaridagi tⁿ darajalari oldidagi hadlar bir-biriga teng bo’lishi kerak:

yoki,

D emak, bizga (n − 1)− indeksli va (n)−indeksli Bessel funksiyalari berilgan bo’lsa biz (n + 1)− indeksli Bessel funksiyasini ular orqali ifodalab olishimiz mumkin ekan. Bunday munosabatlar rekurrent munosabatlar deyiladi. Hosilalarni o’z ichiga olgan rekurrent munosabatlar ham bor. Buning uchun hosil qiluvchi funksiyadan x bo’yicha hosila olamiz:
Y ana (14)-ta’rifni ishlatamiz, ya’ni, olingan tenglikning chap tomonini u yordamida ochamiz:
C hap va o’ng tomonlardagi t ning bir xil tartibli darajalarini solishtirsak,

ko’rinishga ega bo’lgan rekurrent munosabatga kelamiz.

1 .1-misol.

(15)- va (16)-larni keltirib chiqarishda biz faqat butun indeksli Bessel funksiyalari J_n lardan foydalandik, ammo ular

• ixtiyoriy butun bo’lmagan ν indeksli silindrik funksiyalar uchun o’rinlidir;
• hamma silindrik funksiyalar uchun – J_v, N_v, H_v^(1,2) - o’rinlidir.
R ekurrent munosabatlarning yana bir qulay formasi bor. Ularni olish uchun (15)- va (16)-larni bir marta qo’shamiz va bir marta ayiramiz. Natijada
k o’rinishdagimunosabatlarniolamiz. Ularningbirinchisini xn gavaikkinchisini x^-n ga ko’paytirsak quyidagi tez uchrab turadigan munosabatlarga kelamiz:
B u munosabatlarni eslab qolish yanada oson bo’lgan ko’rinishga keltirib olishimiz qiyin emas: