Biologik va tibbiy jarayonlarni matematik modellashtirish

Biologik va tibbiy jarayonlarni matematik modellashtirish
3 amaliyot
Tibbiy tashhis modellari. Populyatsiya dinamikasining modeli. Populyatsion modellar. Puls to‘lqini modeli. Qon tomir modeli. Yuqumli kasallikning eng oddiy modeli. Sil kasalligi uchun matematik model.
Медицинские диагностические модели. Модель динамики населения. Популяционные модели. Модель импульсной волны. Сосудистая модель. Простейшая модель инфекционного заболевания. Математическая модель туберкулеза.
Kasallikning tipik shakllari diagrammasi quyidagi ko’rinishga ega bo’ladi

1-rasm. Kasallikning turli shakllarida antigen konsentratsiyasining dinamikasi: 1 - subklinik; 2 - o'tkir turi ammo tiklanish bilan; 3 - o'tkir - o'limga olib keladigan; 4 - surunkali
1 - Egri chiziq yashirin tarzda yuzaga keladigan kasalliklarni tavsiflaydi. Ushbu holatda antigenga xos bo'lgan antikorlarning yuqori normal darajasi tufayli antigen tanadan chiqariladi.
2 - Egri chiziq kasallikning o'tkir holatdagi normal jarayon.
3- Egri chiziq o'limga olib keladigan kasallik
4- Egri chiziq kasallikning surunkali shaklini tavsiflaydi.
Ba'zi hollarda, turli sabablarga ko'ra, antijenlarning bunday "zich" blokirovkasi organizmda yuzaga keladi, bunda kasallik jarayoni juda sekin kechadi va organizmdagi funktsional yoki patologik o'zgarishlarni tavsiflovchi ko'rsatkichlarda o'zini namoyon qilmaydi. Bu holat oylar va yillar davom etishi mumkin. Odam butunlay sog'lom ko'rinadi. Ammo, agar bu davrda u boshqa o'ziga xoslikdagi viruslar yoki bakteriyalar bilan kasallangan bo'lsa va natijada o'tkir virusli yoki bakterial kasallik yuzaga kelsa, bir muncha vaqt o'tgach, kasallikning yangi, murakkab shakli paydo bo'lishi mumkin, bu ba'zan shunday bo'ladi, va bu holat anchagina xavfliroq holat hisoblanadi.
Bu holat, masalan, gripp epidemiyasi davrida sodir bo'ladi. Bunday holda, biz murakkab kasallik jarayonining sxematik tarsi yuqiridagi rasmda ko'rsatishimiz mumkin. Avvalo, tanada yashirin holatda, organizm bilan zaif o'zaro ta'sir qiluvchi yaxshi bloklangan antijenlarning populyatsiyasi mavjud deb faraz qilaylik. Ishonch hosil qilish uchun, stafilokokklar bo'lsin. Ularning faoliyatini blokirovka qilish uchun organizm doimiy ravishda IgG, IgA va boshqa zaruriy himoya komponentlarini o'ziga xos antikorlarni ishlab chiqaradi. Nafas olish yo'llariga kirib borgan gripp viruslari hujayra ichidagi himoyani engib, o'z populyatsiyasini ko'paytirish uchun hujayralarning genetik materialidan foydalanib, maqsadli organni yo'q qiladi va yuqtiradi.
Jarayon yomonlashganda, tananing immun tizimi o'ziga xos immunoglobulinlar, shuningdek, ta'sirlangan hujayralarni yo'q qiladigan T_E-effektor-limfositlar shaklida himoya ishlab chiqaradi. Natijada, butun immunitet tizimi yangi dushmanga qarshi kurashish uchun moslashtiriladi va yashirin stafilokokkning immun kuzatuvi zaiflashadi.
Shunday qilib, stafilokokkning ko'payishi uchun qulay sharoitlar yaratiladi. Biroq, asosiy dushman - gripp virusiga qarshi kurash fonida stafilokokklar kontsentratsiyasining ortishi organizm tomonidan uzoq vaqt davomida sezilmaydi, chunki gripp virusining VF - kontsentratsiyasiga nisbatan stafilokokkning VF-komplekslari kontsentratsiyasi kichik qiymatlarni tashkil etadi.
Nihoyat, to'g'ri immunitet nazoratisiz topilgan stafilokokklar tez ko'payib, o'pkaga zarar etkaza boshlagandan so'ng, tana o'z resurslarining bir qismini almashtiradi va keyin gripp viruslarini yo'q qilgandan so'ng, barcha resurslarni stafilokokklarga qarshi himoyani rivojlantirishga yo'naltiradi.

Kasallikning asosiy modelini yaratish

Shunday qilib, biz yuqumli kasallikning asosiy faol omillari quyidagi miqdorlar deb taxmin qilamiz.
1) Patogen ko'paytiruvchi antigenlarning kontsentratsiyasi V(t).
2) Antikor konsentratsiyasi F(t). Antikorlar antijenlarni (immunoglobulinlar, hujayra retseptorlari) neytrallashtiruvchi immunitet tizimining substratlari sifatida tushuniladi.
3) Plazma hujayralarining konsentratsiyasi C(t). Bu antikorlarning tashuvchilari va ishlab chiqaruvchilari (immunokompetent hujayralar va immunoglobulin ishlab chiqaruvchilari) populyatsiyasi.
4) Zararlangan organning nisbiy xususiyatlari m(t). Keling, model tenglamalarini qurishga o'tamiz.
Birinchi tenglama tanadagi antigenlar sonining o'zgarishini tavsiflaydi:



Bu tenglamaning chap tomonidagi birinchi atama ko'payish tufayli dt vaqt oralig'ida antigenlarning dV o’sishini tavsiflaydi.
Tabiiyki, u V ga va noma'lum β soniga mutanosibdir, va uni antigen ko'payish omili deb ataymiz.
γFVdt atamasi dt vaqt oralig'ida F antikorlari tomonidan neytrallangan antigenlar sonini tavsiflaydi.
Aslida, bunday viruslar soni organizmdagi antikorlar soniga ham, antijenler soniga ham mutanosib bo'lishi aniq. γ – antigen bilan uchrashganda antikorlar tomonidan neytrallanish ehtimoli bilan bog'liq koeffitsient.
(2.1.1) munosabatni dt ga bo'libn qo’yidagi tenglamani keltiramiz:



Keling, plazma hujayralarining o'sishini tavsiflovchi ikkinchi tenglamani keltirib chiqamiz.


Tenglemaning to’liq ko’rinishi qo’yidagicha bo’ladi:

o'ng tomonidagi birinchi - plazma hujayralarining avlodini tavsiflaydi;
τ – plazma hujayralari kaskadi shakllanishi sodir bo'lgan vaqt;
α – antigen-antikorlarning uchrashish ehtimoli, kaskad reaktsiyasining boshlanishi va hosil bo'lgan yangi hujayralar sonini hisobga oladigan koeffitsient.
Ushbu formuladagi ikkinchi muddat plazma hujayralari sonining kamayishini tavsiflaydi
µ_C - bu ularning ishlash muddati (vaqti) ning o'zaro nisbatiga teng koeffitsient.
Uchinchi tenglamani antigen bilan reaksiyaga kirishadigan antikorlar sonining muvozanatini hisoblaymiz.

O'ngdagi birinchi atama, ρCdt - plazma hujayralari tomonidan dt vaqt oralig'ida antikorlarning hosil bo'lishini tavsiflaydi;
ρ – bitta plazma hujayrasi tomonidan antikor ishlab chiqarish tezligi.
ηγFVdt - ikkinchi atamasi antigenlar bilan bog'lanish tufayli dt vaqt oralig'ida antitellar sonining kamayishini tavsiflaydi.
Darhaqiqat, dt vaqt oralig'ida antikorlar tomonidan neytrallanishi tufayli yo'q qilingan antigenlar soni γFVdt ga teng bo’ladi.

Tuzilgan tenglamalar kasallik davrida organizmning hayotiy funktsiyalarining zaiflashishini hisobga olmaydi, bu immunitetni ta'minlash uchun zarur bo'lgan immunologik materiallar: leykotsitlar, limfotsitlar, antikorlar va boshqalarni ta'minlaydigan organlarning faoliyatining pasayishi bilan bog'liq hollarni va antijenlarni ko'paytirishga qarshi kurash natijalarini hisoblab beradi.
Agar M- sog'lom organ (massa yoki maydon) xarakteristikasi, M^I - esa zararlangan organning sog'lom qismining tegishli belgisi bo'lsin. m qiymatini formula bo'yicha kiritamiz

Bu maqsadli organlarning shikastlanishining nisbiy xarakteristikasi bo'ladi.
Ta'sirlanmagan organ uchun u tabiiy ravishda nolga, to'liq ta'sirlangan organ uchun esa birga teng. Ushbu xususiyat uchun to'rtinchi tenglamani ko'rib chiqamiz.

Первый член в правой части характеризует степень поражения органа. Предполагается, что за интервал времени dt увеличение относительной величины пораженного органа пропорционально количеству антигенов, которое описывается членом σV , где σ — некоторая константа, своя для каждого заболевания. Уменьшение этой характеристики происходит за счет восстановительной деятельности организма. Этот член будет зависеть от m с коэффициентом пропорциональности µm, характеризующим обратную величину периода восстановления органа в e раз.
O'ng tarafdagi birinchi atama organning shikastlanish darajasini tavsiflaydi.
Taxminlarga ko'ra, dt vaqt oralig'ida ta'sirlangan organning nisbiy hajmining oshishi antigenlar soniga mutanosib bo'lib, σV - atamasi bilan tavsiflanadi, bu erda σ - ma'lum bir doimiy, har bir kasallik uchun o'ziga xosdir.
Muhim vazifalardan biri insonning yurak-qon tomir tizimini (YQT) modellashtirishdir. Biologik tizimlar murakkab va statsionar emasdir, ular bir qator o'zaro ta'sir qiluvchi elementlarni o'z ichiga olgan tarmoq tuzilishi bilan tavsiflanadi. Shu sababli, hozirgi vaqtda avtonom regulyatsiya davrlarining ishlashini batafsil hisobga oladigan yurak-qon tomir tizimining bir nechta matematik modellari ma'lum.

rasm – 2. Taklif etilayotgan modelning blok sxemasi. Vagusning ta'siri uziq chiziq bilan, simpatik faollik ingichka chiziq bilan, qon bosimi qalin chiziq bilan, boshqa ta'sirlar nuqta chiziq bilan belgilanadi.
Shu bilan birga, to'liq miqyosli tajribalar natijalariga asoslanib, bir qator tadqiqotchilar BRAD tizimining avtonom va o'z-o'zidan tebranish xususiyatini ko'rsatadilar.
Majburiy nafas olish orqali tartibga solish tizimlarining ritmlarini sinxronlashtirish bo'yicha eksperimental tadqiqotlarni J.V. Ringwood va S.C. Malpas hayvonlar ustida olib borishgan -in vitro - tadqiqotlari natijalariga asoslanib, sutemizuvchilarning BRAD tizimining avtonom matematik modelini birinchi tartibli nochiziqli differensial tenglama ko'rinishida kechiktirilgan qayta aloqa tizimi bilan taklif qilishgan.
Ushbu ishda odamlarda avtonom ishlashga qodirligi va taxminan 10 s xarakterli davr bilan barqaror o'z-o'zini tebranishlarini namoyish etishi ko'rsatishdi va BRAD tizimining chiziqli bo'lmagan xususiyatlarini hisobga oladigan YQT modelini taklif qilishdi.
Taklif etilayotgan matematik model quyidagi jarayonlarni tavsiflaydi:
asosiy yurak ritmi,
nafas olish jarayonlariga ta'sirini hisobga olgan holda, asab tizimining qismlarining yurak urish chastotasi (YUCh) ta'siri va ularning kuchi, BRAD-tizimi, sistol va diastola fazalarida qon bosimini shakllantirish jarayonini
Taklif etilayotgan dinamik model to‘rtta birinchi tartibli differensial tenglamalarni o‘z ichiga oladi, ularning ba’zilarida kechikishlar hossasoga egadir: