Birinchi tartibli sodda differensial tenglamalar

BIRINCHI TARTIBLI SODDA DIFFERENSIAL TENGLAMALAR

Birinchi tartibli eng oddiy differensial tenglama analizda uchraydi: berilgan uzluksiz funksiyaning boshlang‘ich funksiyasini topish masalasi

(5)
tenglamani qanoatlantiruvchi funksiyani topish masalasiga teng kuchlidir.(5) tenglamaning a, sohada aniqlangan umumiy yechimi (Koshi shaklidagi umumiy yechimi) quyidagi formulalar yordamida topiladi:
(6)
Bu yerda c - ixtiyoriy o‘zgarmas, .
Agar f funksiya nuqtada uzilishga ega bo‘lib, oraliqning qolgan hamma nuqtalarida uzluksiz funksiya bo‘lsa, u holda (6) formula yordamida (5) tenglamaning umumiy yechimini va sohalarda aniqlash mumkin. esa «to‘ntarilgan» tenglamaning yechimi bo‘ladi.
Bu chiziq (6) integral chiziqlar oilasining integralning xususiyatiga qarab, asimptotikasi yoki o‘ramasi bo‘ladi.
Tenglamalarni integrallang va integral chiziqni yasang.
1-misol.
f(x) funksiya oraliqlarda aniqlangan va uzluksiz. funksiyaning cheksiz uzilish nuqtalari. Bu tenglamaning aniqlanish sohasidagi umumiy yechimi

«to‘ntarilgan» tenglamaning integral chizig‘i bo‘ladi va chiziqlar umumiy yechimga kiruvchi integral chiziqlar oilasining asimptotasi bo‘ladi.

Tenglama yechimini Meple dasturi yordamida tekshiramiz
> d1:=diff(y(x),x)=1/(x^2-4);

> dsolve(d1,y(x));

> p1 := dsolve({ diff(y(x),x) = 1/(x^2-4),y(0)=1},y(x),type=numeric):
> odeplot(p1,[x,y(x)],0..10,labels=[x,y]);
Warning, cannot compute solution further right of 1.99999999999937006





2-misol. tenglamaning umumiy yechimi

«to‘ntarilgan» tenglamaning maxsus yechimi va bu yechimlar umumiy yechimga kiruvchi integral chiziqlar oilasining o‘ramasi bo‘ladi.



Tenglama yechimini Meple dasturi yordamida tekshiramiz
> d2:=diff(y(x),x)=1/sqrt(9-x^2);

> dsolve(d2,y(x));

> p2 := dsolve({ diff(y(x),x) = 1/sqrt(9-x^2),y(0)=1},y(x),type=numeric):
> odeplot(p2,[x,y(x)],0..6,labels=[x,y]);

Endi, erkli o‘zgaruvchi qatnashmagan

(7)
tenglamani qaraymiz.
bo‘lganda, (7) ga teng kuchli bo‘lgan «to‘ntarilgan» tenglamani qaraymiz:
(8)
bu tenglama uchun yuqorida ko‘rib o‘tilgan usulni qo‘llaymiz.
uzluksiz va da nolga teng emas deb faraz qilamiz. U holda (8) tenglamaning sohadagi umumiy yechimi (Koshi shaklidagi umumiy yechimi) quyidagicha bo‘ladi:
_yoki
Agar nuqtalarda nolga aylansa, u holda (7) tenglamaning yechimi bo‘ladi.
3-misol.
f(y) funksiya y≥0 bo‘lganda aniqlangan va uzluksiz, hamda f(0)=0.
«T o‘ntarilgan» tenglama bo‘lib, yechimi bo‘ladi.

Demak, umumiy yechim, y=0 maxsus yechim.
Differensial tenglamalarni integrallashda almashtirishlar muhim rol o‘ynaydi, masalan
(9)
Tenglama z=ax+by almashtirish yordamida (7) tenglamaga keltiriladi. Bu yerda z yangi noma’lum funksiya.
4-misol.
3 misolni yechishda qo‘llangan usuldan foydalanib: ni hosil qilamiz. Eski o‘zgaruvchilarga qaytsak, berilgan tenglamaning yechimini hosil qilamiz.

Differensial tenglamalarni tuzish

Bitta parametrga bog‘liq bo‘lgan

Φ(x,y,c)=0 (10)

Egri chiziqlar oilasi berilgan bo‘lsin, bu yerda Φ differensiallanuvchi funksiya. Egri chiziqlar oilasining differensial tenglamasini tuzish uchun ni ning funksiyasi deb qarab (10) tenglikni differensiallaymiz:

So‘ngra (agar yo‘qolmasa) hosil bo‘lgan tenglama va (10) tenglamadan parametr ni yo‘qotsak, berilgan egri chiziqlar oilasining differensial tenglamasi hosil bo‘ladi.

5-misol.
6-misol.
Agar egri chiziqlar oilasi bir necha parametrga bog‘liq bo‘lsa, u holda shu oila differensial tenglamasini tuzish uchun parametrlar nechta bo‘lsa, shuncha marotaba ketma-ket hosila olinadi. So‘ngra olingan hosilalar va egri chiziq oilasi tenglamasidan parametrlarni yo‘qotish kerak.


Mustaqil yechish uchun misollar

Differensial tenglamalarni integrallang va integral chiziqlarni chizing. Yechimni Meple dasturi yordamida tekshiring.

Differensial tenglamalarni integrallang va nuqtadan o‘tuvchi integral chiziqni aniqlang.


Egri chiziqlar oilasining differensial tenglamasini tuzing.




24. Markazi y=2x to‘g‘ri chiziqda va radiusi 1 ga teng bo‘lgan egri chiziqlar oilasining differensial tenglamasini tuzing.
25. y=0 va y=x to‘g‘ri chiziqlarga bir vaqtda urinuvchi va simmetriya o‘qi OY o‘qiga parallel bo‘lgan parabolalar oilasining differensial tenglamasini tuzing.
26. Bir vaqtda koordinata o‘qlariga urinuvchi va I, III choraklarda joylashgan aylanalar oilasining differensial tenglamasini tuzing.
27. Koordinata boshidan o‘tuvchi va simmetriya o‘qi OY o‘qiga parallel bo‘lgan parabolalar oilasining differensial tenglamasini tuzing.