Birinchi tur sirt integralining ta’rifi

Aim.Uz

Birinchi tur sirt integralining ta’rifi

Faraz qilaylik silliq yoki bo’lakli silliq biror S sirtning ichki nuqtalariga, chegaralangan f(M)=f(x,y,z) funktsiya aniqlangan bo’lsin. Berilgan sirt silliq deyiladi. Agar uning ixtiyoriy nuqtasidan unga urunma tekislik o’tkazish mumkin bo’lsa va nuqtadan nuqtaga o’tganda uning holati o’zgarmasa

S sohani ixtiyoriy usulda n ta turli yuzalarga ega bo’lgan bo’laklarga ajratamiz.
Har bir mayday bo’lakdan nuqta olib (1) yig’indini (1) yig’indi f(x,y,z) funktsiya uchun S sirt bo’yicha integral yig’indi deyiladi.
Ta’rif:
f(M) S da integrallanuvchi funktsiya, S integrallash sirti.
Izoh 1. Ushbu ta’rif ikki o’lchovli integral ta’rifiga o’xshash bo’lgani uchun, ikki o’lchovli integralning xossalari va mavjudlik teoremalari, sirt integrali uchun ham o’rinli bo’ladi.
Izoh 2. Agar f(x,y,z)=1 bo’lsa, bo’ladi.
Birinchi tur sirt integralini hisoblash

1-tur sirt integralini yechish, uni ikki o’lchovli integralga keltirish orqali amalga oshiriladi.

Faraz qilaylik S sirt z=z(x,y) tenglama bilan berilgan bo’lib, z(x,y) funktsiya xususiy hosilalari bilan S ning Oxy tekislikdagi proyeksiyasi Dda uzluksiz bo’lsin, hamda f(x,y,z) funktsiya S sirtda uzluksiz, demak integrallovchi bo’lsin.
S ni usulda n ta bo’lakka ajratamiz va bu bo’laklarni Oxy tekislikga proyeksiyamiz va D ni bo’laklarini hosil qilamiz. Har bir quyidagicha ifoda etiladi.
, o’ngdagi 2- o’lchovli S ga o’rta qiymat haqidagi teoremani qo’llab
ni hosil qilamiz: f(x,yt) funktsiya integral yig’indi tuzamiz.

Ushbu tenglamani o’ng tomonida funktsiya uning integral yig’indisa turibdi. Oxirgi tenglamada ga o’tsak
ni hosil qilamiz.
Misol: integralni s-z=1-x²-y² ????? z=0 tekislik bilan kesilgan bo’lagi bo’yicha hisoblash.
Yechish: doira yuqoridagi formulani qo’llab ni hosil qilamiz Qutb koordinatasiga o’tsak,
ga ega bo’lamiz.