Birinchi va ikkinchi sirt integrallarini hisoblashga doir mashqlar stoks formulasining tadbiqlari: Reja

Isbot. .(S) sirtning bo ‘linishini olaylik , uning bo ‘laklarini bo'lsin. Bu sirt va uning bo'laklarining Oxy tekislikdagi proeksiyasi (D) sohaning bo'laklashni va uning bo ‘laklarni hosil qiladi. bo ‘laklashiga nisbatan ushbu yig ‘indini tuzamiz:

Agar (S) sirtning ustki tomoni qaraliyotgan bo ‘lsa , u holda barcha lar musbat bo ‘ladi .

Modomiki,f(x,y,z) funksiya z=z(x,y) sirtda berilgan ekan , u x va y o‘zgaruvchilarning quydagi funksiyaga aytlanadi.
f(x,y,z)=f(x,y,z(x,y))
bundan esa
(k=1,2,3…..)
Bo ‘lishi kelib chiqadi.Natijada (5) yig ‘indi ushbu

Ko ‘rinishga keladi.bu yig ‘indi f(x,y,z(x,y)) funksiyaning integral yig ‘indisi ekani payqash qiyin emas Agar f(x,y,z(x,y))funksiyaning (D)da uzluksiz ekanligini e’tiborga olsak,unda da

Yig ‘indi chekli limitga ega bo ‘ladi va

Bundan esa

Bo ‘lishi kelib chiqadi teorema isbot bo ‘ldi.

Stoks formulasi

Mazkur punktda Grin formulasining umumlashmasi bo’lgan sirt integrali bilan egri chiziqli integralni bog’lovchi formulani keltirib chiqaramiz.
Faraz qilamiz, - sirt silliq va karrali nuqtalarga ega bo’lmasin: U bo’lakli silliq kontur bilan chegaralangan bo’lsin.
sirtni o’z ichiga oluvchi biror fazoviy sohada funksiya berilgan bo’lib, u bu sohada o’zining xususiy hosilalari bilan uzluksiz bo’lsin. U holda quyidagi

formula o’rinli.
Avval chiziq bo’yicha egri chiziqli integralni chiziq bo’yicha interalga almashtiramiz:

Bu tenglikni chiziqni ushbu

parametric ifodasini, u orqali esa - chiziqnikini

kiritib, oson tekshirish mumkin. U holda ikkala integral bitta o’sha parameter bo’yicha oddiy integralga keladi:

Endi (2) ni o’ng tomonidagi integralga Grin formulasini qo’llaymiz:

Oxirgi integral ostidagi ifodadan qyuidagini olamiz:




Endi buni (3) tenglikka qo’ysak, ushbu ikki karrali integralga kelamiz:


Ushbu


bu yerda (S) sirt tomoniga mos yo’naltiruvchi kosinuslar, formula ikkinchi va birinchi tur sirt integrallarini bog’lovchi umumiy formula bo’lib, bizga ma’lumki, sirtning tanlangan tomonini xarakterlovchi, yonaltiruvchi kosinuslar, quyidagi formulalar orqali aniqlanadi


Boshqa tomondan parametrlar bo’yicha ikki karrali integralga o’tishda,
elementni ifoda bilan almashtiriladi. Nihoyat, ushbu

O’ng tomonda, funksiyalarda o’rniga ularning orqali ifodalari qo’yilgan deb faraz qilinadi.
(4’) formulaga asosan,

ikki karrali integralni sirtni tanlangan tomoni bo’yicha olingan

sirt integraliga oson almashtirish mumkin. Shu bilan (1) tenglik isbotlandi.
Xuddi shunga o’xshash, quyidagi tengliklarni olamiz:


bu yerda – ga bog’liq yangi funksiyalar bo’lib, ular funksiyaga qo’yilgan shartlarni qanoatlantiradi.
(1), va uchala tengliklarni qo’shib, quyidagi nisbatan umumiy ko’rinishdagi formulani olamiz:


Bu tenglik Stoks formulasi deyiladi.
Agar sirtning bo’lagi sifatida tekislikdagi soha olinsa,
bo’lib, u holda quyidagi formula hosil qilinadi


bu esa ma’lumki, Grin formulasidir. Shunday qilib, oxirgi formula Stoks formulasining xususiy holidan iborat.
Nihoyat, Stoks formulasida ikkinchi tur sirt integrali birinchi tur sirt integrali bilan almashtirlishi mumkin. U holda bu formula quyidagi


ko’rinishga ega bo’lib, sirtni tanlangan tomoniga mos normalning yo’naltiruvchi kosinuslari.
Shunday qilib, Stoks formulasi (S) sirt bo’yicha olingan II-tur sirt integrali bilan shu sirtning chegarasi bo’yicha olingan egri chiziqli integralni bog’lovchi formuladir.
Stoks formulasini qo’llashga misol keltiramiz.