Birinchi va ikkinchi tur egri chiziqli integrallar orasidagi nboshlanish ostrogradiski grin formulasining tadbiqlari

Teorema. Agar bo`lib, bo`lsa, u holda
(35)
bo`ladi.
Teorema. Agar bo`lib, bo`lsa, u holda
(36)
bo`ladi.
1-Natija. Agar bo`lib, bo`lsa, u holda
(37)
bo`ladi.
2-Natija. Agar , bo`lib, bo`lsa, u holda
(38)
bo`ladi.
Grin formulasi va uning ba`zi bir tatbiqlari
Teorema. (Grin). soha berilgan bo`lib, uning shegarasi bo`lakli-silliq chiziqdan iborat bo`lsin. Agar va funksiyalar da berilgan va , , bo`lsa, u holda
(39)
tenglik o`rinli bo`ladi. (39)-formulaga Grin formulasi deyiladi.
Grin formulasidan sohaning yuzasini hisoblash uchun ushbu
(40)
(41)
(42)
formulalar kelib chiqadi.
Teorema. Agar va funksiyalar sohada Grin teoremasining shartlarini bajarsa, unda quyidagi 4 ta shart bir-biriga ekvivalent bo`ladi.

1. 
   da
   

(43)
tenglik bajariladi.

2. 
   sohadagi yopiq kontur uchun
   
3. 
   nuqtalar va bu nuqtalarni tutashtiruvchi yoy uchun
   

integralning qiymati integrallash yo`liga bog`liq emas.
4) ifoda to`liq differensial bo`ladi, ya`ni sohada shunday funksiya topiladiki tenglik bajariladi va unda

bo`ladi.
Agar bo`lsa, unda funksiya ushbu
(44)
formula yordamida topiladi. Bu yerda -ixtiyoriy nuqta.