a)H(x) — kamaymaydigan funksiya;
b) H( - )=0, H(+ ) ;
v) H(x) chapdan uzluksiz funksiya.
Biz deb H sinfning shunday qism to‘plamini olamizki, bunda ya’ni R(x) tasodifiy miqdor taqsimot funksiyasining xuddi o‘zi.
3.5- ta’rif. Agar ixtiyoriy uzluksiz va chegaralangan h(x) funksiya uchun
(3.6)
tenglik o‘rinli bo‘lsa, funksiyalar ketma-ketligi funksiyaga sust yaqinlashadi deyiladi va qisqa kabi belgilanadi, bu yerda W harfi inglizcha „Weak" - „sust", so‘zining bosh harfidan olingan.
3.1 - teorema.Faraz qilaylik, u holda Bu teoremani H sinfdagi funksiyalar uchun quyidagicha bayon etish mumkin.
3.2 – teorema. Faraz qilaylik, u holda 1) (3.7)
2) (3.8)
Yuqorida aytilganlarga ko‘ra turli yaqinlashishlar orasidagi bog’lanishni ifodalovchi sxema keltirishimiz mumkin . ( 3.2- shakl)
3.2 -shakl
tasodifiy miqdorlar ketma-ketligi ehtimol bo‘yicha, bir ehtimol bo‘yicha va o‘rtacha tartibda fundamental deyiladi, agar mos ravishda quydagishartlar bajarilsa:
Ixtiyoriy son uchun , deyiladi barcha lar uchun ketma-ketlik fundamental funksiyalar ketma-ketligi manosida fundamental ya’ni
3.3-teorema. a) (deyarli hamma joyda ehtimol bo‘yicha) bo‘lishi uchun son uchun
(3.9)
ning bajarilishi zarur va yetarli.
b) ketma-ketlik bir ehtimol bilan fundamental bo‘ladi faqat va faqat son uchun
(3.10)
bajarilsa yoki bu
(3.11)
gat eng kuchli. F dan olingan hodisalarning biror ketma-ketligi bo‘lsin eslatib o‘tamiz { cheksiz son } deb hodisalardan cheksiz ko‘pi ro‘y beradigan hodisa belgilangan.
Lemma. (Borel-Kontelli)
a) Agar bo‘lsa u holda P{An cheksiz son} shu hodisaning ehtimoli nolga teng.
b) Agar va hodisalarga bog’liq bo‘lmagan bo‘lsa, u holda P{An cheksiz son}=1.
