Bob. Oddiy differensial tenglamalarni sonli yechish usullari

^ Nazorat savollari

1. 
   Chegaraviy masalani yechish uchun qanday qo‘shimcha shartlardan foydalanish yetarli hisoblanadi?
   
2. 
   Chegaraviy masalalarni yechish usullarini qaysi guruhlarga bo‘linadi?
   

5. 
   §. Chekli ayirmalar usuli
   

Tayanch so‘z va atamalar
Chekli ayirmali formula, o‘ng chekli ayirmali formula, markaziy chekli ayirmali formula, uch diaganalli tenglamalar sistemasi, haydash usuli, noma'lum haydash koeffisientlari, to'g’ri va teskari bosqichlar.
Bizga quyidagi
y"(^x) + p( ^x)y'(^x) + q^{( x})y(^x) = ^f(^x) (6.7)
ikkinchi tartibli, o‘zgaruvchan koeffisientli oddiy differensial tenglamaning x e[a,b] oraliqning chetki nuqtalarida qo‘yilgan
{^m0 y^(a) + ^m1 y^,(a) = ^ g 0 y^(b) + g1 y^,(b) = g 2 (6.8)
chegaraviy shartlarni qanoatlantiruvchi aniq yechim y= y(x) ni topish lozim bo‘lsin. Bu yerda p(x),q(x), f(x) lar [a,b] oraliqda uzluksiz funksiyalar sinfiga kiradi. m₀, m„ m₂, g ₀, g₁, g ₂- o‘zgarmaslar, ya'ni
chegaraviy shart belgilari. Ixtiyoriy taqribiy yechimni y = y(x) deb belgilaymiz.
Yuqoridagi masalani sonli-taqribiy usul hisoblanmish chekli ayirmalar usuli bilan yechish uchun yechim qidiriladigan [a, b] oraliqda quyidagi to‘rni kiritamiz, ya'ni oraliqni koordinatalari x_i = a + i• h formula bilan aniqlanuvchi tugun nuqtalar bilan bo‘laklarga bo‘lamiz, bu yerda h = bj-a, n -tugun nuqtalar soni. Belgilashlar kiritamiz:
n
y = У ^(xi^), y = y^(xi⁾.
x_t nuqtalar uchun yuqoridagi (6.7) tenglama o‘rinli bo‘lgani uchun, uni shu nuqtalarda yozib olamiz:
^y"^(x_;⁾+p^(x_;^{) y,(x}_;⁾+q^(x_;^{) y (x}_;⁾ = ^{f (x}_;⁾
Qulaylik uchun, bu tenglamani quyidagi ko‘rinishda qayta yozamiz:
^y\+p_ty\+qy = ^f (6.9)
Ma'lumki, izlanuvchi y, funksiyaning x, nuqta atrofidagi Teylor qatoriga yoyilmasini quyidagicha ifodalash mumkin:
_ _ _ h² _
y^(xi+1) = y^(xi) + ^hy'(^xi) + — y"(^xi) + ••• (6.10)
yoki
_ _ _ h² _
y^(xi-1⁾ = y^(xi⁾ - ^hy ^,(xi⁾ + — y "(^xi⁾ + ••• (6.11)
(6.10) va (6Л1) qatordagi ikki va undan yuqori tartibli hosilalar qatnashgan hadlarni tashlab yuborsak, izlanuvchi funksiyaning x, nuqtadagi hosilalari uchun quyidagi taqribiy hisoblash formulalari hosil bo‘ladL
(6^ 10) formuladan
y'(x,) = ^{y (x}-+'⁾~ ^{y (x)} + O (h) (6,12)
(6^ 11) formuladan
y,(x) = уМ—У^ы}. + O (h) (6Л3)
h
(6•12)-formula o‘ng chekli ayirmali formula, (6•13)-formula chap chekli ayirmali formula deb ataladL Bu formulalar O(h) miqdorli xatoliklar bilan baholanadL





y ’(x,)

y⁽+1)^- y⁽-1)
2h

+ O(h²)

(6-14)
Endi (6^10) va (6Л1) Teylor qatoridagi uchinchi va undan yuqori tartibli hosilalar qatnashgan hadlarni tashlab yuborib, hosil bo‘lgan taqribiy tengliklarni ayirish hisobiga birinchi tartibli hosilani taqribiy hisoblashning markaziy chekli ayirmali formulasini hosil qilamiz:
bu almashtirishning xatolik darajasi O(h²) miqdor bilan belgilanadL
Agar yuqoridagi (6^10) va (6Л1) formulalardagi ikkinchi tartibli hosila qatnashgan hadni ham qo‘shib olib, hosil bo‘lgan tengliklarni hadlab qo‘shsak:





У

»»

У^(xi₊i) - ² У⁽X) + У^(xi-i) + _O(_h 2) h²

(6.15)
dan iborat izlanuvchi y_t funksiyaning x_i nuqtalari uchun ikkinchi tartibli hosilasini taqribiy hisoblash formulasi kelib chiqadi. Bu almashtirishning xatoligi ham O(h²) miqdor bilan baholanadi.
(6.9) differensial tenglamadagi y_iy_i" lar o‘rniga hosil qilingan chekli ayirmali formulalarni qo‘yamiz:
^y'+‘^{- 2}J'+^y'^-1 + Pi ^-1 + qy+о (h²)=/,.
h 2 h






У

i+1

²Уi + У i-1 + У'+i ^- У'-i
h^{2 P}‘ 2h

+q'У i i, J

1==^., n -1
Cheksiz kichik miqdorlarni tashlab yuborib, hosilalar qatnashmagan va У' » У (X') noma'lumlardan iborat tenglamalarni hosil qilamiz:
Hosil bo‘lgan tenglamani har ikkala tomonini h² ga ko‘paytiramiz va mos hadlarni guruhlaymiz. Hamda ushbu belgilashlar kiritib:
h h
= ¹ + ^Pi^{, В}г = 2 - h²q_r, с, = ^{1 -} ^Pi^, D = h²f_t (6.16)
quyidagi tenglamalar sistemasini hosil qilamiz:
^а,У,+1 ^{- B}'У i + ^C 'У - = ^D i ⁽⁶.¹⁷⁾
Bu yerda i = 1,n-1 bo‘lgani uchun ' ga mos qiymatlarni berib, (6.17) sistemaning yoyib yozilgan xolini hosil qilamiz:
^A1^У 2 ^{- B}1^У1 + ^C1^У 0 = ^D1 ^A2 ^У3 ^{- B}2^У2 + ^C2 ^У1 = ^D2
" ^A3^У4 ^{- B}3^У3 + ^C3^У2 = ^D3 (6.18)
.^АпУп₊1 - ^ВпУп + ^СпУn-1 = ^Dn
Hosil bo‘lgan sistema у₀,у₁,...,у_п lardan iborat (n +1) ta noma'lumli, (n -1) ta tenglamadan iborat uch diagonalli, algebraik, chiziqli tenglamalar sistemasidan iborat.
Uch diagonalli bo‘lishiga sabab, sistemadagi har bir tenglamada faqat uchtadan noma'lum qatnashgan hadlar mavjud bo‘lib, sistemada
ularning joylashgan o‘rni asosiy diagonal, uni pasti va yuqorisidagi diagonallarga mos keladi.
Ma'lumki, tenglamalar sistemasining yagona yechimini aniqlash uchun tenglamalar va noma'lumlar soni teng bo‘lishi kerak. Shuning uchun, yetishmayotgan ikkita tenglamani chegaraviy shart hisobiga to‘ldirib olamiz. x₀ = a va x_n = b oraliqning chetki nuqtalari uchun (6.8)
shartlarni quyidagicha yozib olamiz:
( /
_< ^m0 Уо + ^mi Уо = ^m2
. g 0 Уп + gl уП = g 2





^m0 У0 + ^mi ■
g0 Уп + gl

У1 ^- У0
h
Уп ^- Уп-1

h

= ^m2 = g 2
у0, y'_n -larni mos ravishda (6.11) va (6.12) chekli ayirmali formulalari bilan almashtiramiz, ya'ni y(x) ni x = x₀ yoki x = a nuqtadagi hosilasi uchun o‘ng chekli ayirma formulasini, x = x_n yoki x = b nuqtadagi hosilasi uchun chap chekli ayirma formulasini qo‘yamiz:
Hosil bo‘lgan tenglamalarni h ga ko‘paytirib, o‘xshash hadlarni ixchamlaymiz:


(6.19)
J (hm_{) - m_x)У0 + m1 У1 = hm2
l^(hg0 + g1⁾Уп ^- g^n-1 = ^hg2
Quyidagicha belgilashlarni kiritib:
A = ^hm0 ^{- m}1=^D0 ^hm2^, Bn ^- gl^{, B}0 = ^ml^, An = ^hg 0 + g^ D_n = ^hg 2 (6.20)
hosil qilingan tenglamalarni (6.17) tenglamalar sistemasiga “ulaymiz” va natijada (n+1) ta noma'lumli, (n+1) ta tenglamadan iborat
У₀,у₁,...,у_п noma'lumlarga nisbatan yozilgan quyidagi uch dioganalli chiziqli algebraik tenglamalar sistemasiga ega bo‘lamiz:
^B0 ^У0 + ^C0 ^У1 = ^D0
^<АгУг₊1 ^{- В}гУг + ^СгУг-1 = ^D, (i = 1 ,n - 1) (6.21)
. ^АпУп + ^ВпУп-1 = ^Dn
Ma'lumki, qidirilayotgan taqribiy yechimning aniqlik darajasini
oshirish uchun [a, b] oraliqda kiritilgan x_t = a + ih to‘rning h qadamini
141
kichraytirish lozim. Bu miqdorni kichraytirish esa o‘z navbatida tugun nuqtalar x, ning sonini keskin oshishiga olib keladi. Shunday qilib, qo‘yilgan masalani zarur aniqlikda yechish uchun hosil qilingan (6.21) sistemaning tartibi ming, ayrim hollarda esa o‘n mingdan ham ortiq bo‘lishi mumkin.Yuqorida eslatganimizdek, sistemaning har bir tenglamasida faqat uchtadangina noma'lum qatnashgan xadlar mavjud. Qolgan noma'lumlarning koeffisientlari esa nolga teng. Agarda biz bunday sistemani an'anaviy usullar (Gauss, Kramer, teskari matrisa kabi) yordamida yechmoqchi bo‘lsak, nollar ustida ma'nosiz bo‘lgan ko‘p hajmdagi amallarni bajarishimizga to‘g’ri keladi. Shuning uchun, bunday maxsus sistemalarni yechishning maxsus usullari ishlab chiqilgan. Bu usullarning eng soddasi, dasturlashga qulayi, xatolar yig’ilmasini hosil qilmaydigani “haydash” usuli hisoblanadi.
Quyida “Haydash ” usulining qisqacha mohiyati bilan tanishib chiqamiz.
Maxsus, diagonalli sistemalarni yechishga mo‘ljallangan “Haydash” usuli ikki bosqichdan iborat:

• 
  noma'lum koeffisientlarni aniqlash (to‘g’ri bosqichi)
  
• 
  sistemaning yechimlarini aniqlash (teskari bosqichi). 1-bosqichda (6.21) sistemaning noma'lum y. yechimini quyidagi ko‘rinishda qidiramiz:
  

У , = ^ашУ<+1 + P,+i (6.22)
bu yerda a₁+₁ va p_i+I noma'lum haydash koeffisientlari. Noma'lum a_i+1,p_i+1 koeffisientlarni topish uchun (6.22) tenglikni x = x_t va x = х_г_₁ nuqtalardagi ko‘rinishini (6.21) formuladagi ikkinchi tenglamaga ketma- ket qo‘yib,
^A,y,+i _ ^B.⁽a+iy.+i + Д-+1⁾ + c, ⁽a^(a+Уу+i + A+⁾ + A⁾ =
yoki


d, ) = о
^(A, _ ^B a+1 + ^c,^aa_I+1⁾y,+1 + ⁽_^B, Д-+1 + ^caA+1 + ^cA
ni hosil qilamiz.
Bu chiziqli ifoda aynan 0 ga teng bo‘lishi uchun, barcha koeffisientlar 0 ga teng bo‘lishi kerakligini hisobga olib, quyidagi tengliklarni hosil qilamiz:
^Ai - ^Bi^at₊i + ^Ci^ai^ai+1 = ⁰
- Bi bi+i + C^i bi+i + Ci bi - Di = 0






^ai+i =

A

B - c a

; A+i =

i = 1, n - i (6.23)
Hosil qilingan tengliklardan a₊₁,p_i+1 noma'lum koeffisientlarni topish unchalik qiyin emas, ya'ni
Mazkur rekkurent formuladagi barcha a_M va p₁₊₁ larni aniqlash uchun yoki boshqacha aytganda rekkurent formulani “yurishi” uchun dastlabki a_t va p_} qiymatlarni topishimiz kerak. Bu qiymatlarni topishimiz uchun x = a nuqtadagi chegaraviy shartdan hosil qilingan (6.21) formuladagi birinchi tenglamadan foydalanamiz.
B₀^₀ + C₀y₁ = D₀ tenglamani har ikkala tomonini a₀ ga bo‘lib, y₀ ni topamiz:
C0 D0
У0=yi^- _B^_;
^B0 ^B0
Keltirib chiqarilgan formulani (6.22) formulaning i = 0 dagi
qiymatida hosil qilingan y₀ =a₁ y₁ + p₁ bilan solishtirish natijasida a₁ = ^C°;
^B0
A =-^D° ekanligi kelib chiqadi.
^B0
Eslatib o‘tamiz, b₀,c₀,d₀ larning qiymati oldinroq (6.20)
formulalar orqali aniqlangan edi.
a₁,p lar ma'lum bo‘lgach, barcha keyingi a_i+1,p₊₁ lar (6.23) rekkurent formuladan topiladi. Bu jarayon “haydash” usulining to‘g’ri bosqichini tashkil etadi.