Bob. Oddiy differensial tenglamalarni sonli yechish usullari

Topshiriq: Chegaraviy shartlar y(0) = 1 va У(пП)=-1 bo‘lgan hol uchun bazis funksiyalarni mustaqil tanlang.
Yuqorida, soddalik uchun (6.26) da n = 2 deb hisoblandi.
Biz u₀(x),u₁(x),u₂(x),...,u_n(x) bazis funksiyalarni tanlashni o‘rgandik, endi chegaraviy masalaning yechimi faqat y,c₂,....,c_n noma'lum koeffisientlarga bog’liq bo‘lib qoldi. Galyorkin, Rits, kollokasiya, eng kichik kvadratlar kabi boshqa taqribiy-analitik usullar bir-biri bilan aynan shu noma'lum koeffisientlarni aniqlash yo‘llarini turlichaligi bilan o‘zaro farq qiladi holos. Bu o‘zgarmaslarni Galyorkin taklif etgan usul bilan aniqlashni tashkil qilamiz. Buning uchun, dastlab (6.26) formulani
(6.24) differensial tenglamaga qo‘yib, quyidagi tafovut funksiyasini hosil qilamiz:
^R(x^,c_x,^C2^,—,c_n⁾ = Цщ^(x)] + ^c_k ■ ^L[uk^{(x)]- f(}x) (6.27)
k=1
Bu funksiya chegaraviy masala taqribiy yechimining aniq yechimdan farqini xarakterlovchi miqdor bo‘lib, u c_x,c₂,....,c_n o‘zgarmaslarga chiziqli bog’liqdir.
Tafovut funksiyani minimallashtirish sharti Galyorkin usulida quyidagicha ifodalanadi.

' b I R( x, c1, c2,...., cn) ■ U1 (x) ■ dx = 0 a
b | R( x, c1, c2,...., cn) ■ u 2 (x) ■ dx = 0 a	(6.28)
b | R( x, q, c2,...., cn) ■ Un (x) ■ dx = 0

la

Yani, tafovut funksiyani u(x), (i = i,n) bazis funksiyalarga ortogonallik shartidan foydalaniladi.

(6.27) formuladagi r -tafovut funksiyasini (6.28) sistemaga qo‘yamiz.
b
I (L[u₀ ] + c₁ ■ L[u₁ ] + c₂ • L[u₂ ] +... + c_n • L[u_n ] - f (x)) • u_x (x) • dx = 0
a
b


(6.29)
_< | ^(L[u0^] + ^c1 ■ ^L[u1^] + ^c2 ■ ^L[u 2 ^] + ... + ^cn ■ ^L[un ^{] - f(x))} ■ ^u 2^(x) ■ ^dx = ⁰
a

I № 0^]
+ c₁ ■ L[u₁ ] + c₂ ■ L[u₂ ] +... + c_n ■ L[u_n ] - f (x)) ■ u_n (x) ■ dx = 0
^a
Natijada c₁,c₂,....,c_n noma'lumlarga nisbatan (6.29) ko‘rinishidagi chiziqli algebraik tenglamalar sistemasi hosil bo‘ladi. Uning koeffisientlarini yuqoridagi aniq integrallarni hisoblash yordamida topiladi. Sistemani yechib (odatda Gauss usulidan foydalaniladi) c₁,c₂,....,c_n noma'lum o‘zgarmaslarni aniqlash mumkin. U holda chegaraviy masalaning taqribiy analitik yechimini
Xx) = u₀(x) + c₁ ■ u₁(x) + c₂ ■ u₂(x) +... + c_n ■ u_n (x)
ko‘rinishida yoza olamiz.
n=3 bo‘lgan hol uchun tafovut funksiyasini va unga mos tenglamalar sistemasini hosil qiling.
Yuqorida ko‘rib, o‘rganib chiqilgan nazariy amallarni quyidagi chegaraviy masala ustida bajarishni tashkil qilaylik. (n = 2 deb faraz qilaylik).
Chegaraviy masalaning differensial tenglamasi quyidagicha ko‘rinishda berilgan bo‘lsin:
y"-2y'+x³ • y = 12x² - 8x³ + x⁷
Differensial tenglamaning yechimiga qo‘yilgan chegaraviy shartlar esa:
Г y (0) = 0 I y (1) = 1
Yuqorida ta'kidlaganimizdek, Galyorkin usuli bilan ishlashdan oldin berilgan masalaning chegaraviy shartlarini qanoatlantiradigan bazis funksiyalarni tanlab olishimiz lozim:

1. 
   u₀(x) ni berilgan chegaraviy shart, ya'ni u₀(0) = 0 va u₀(1) = 1 shartni qanoatlantiradigan qilib, quyidagicha tanlab olamiz: ^u0^(x) = ^x .
   
2. 
   u_t(x) va u₂(x) larni esa berilgan chegaraviy shartga mos bir jinsli
   

shartlarni, ya'ni u_x(0) = 0, u_x(1) = 0 va u₂(0) = 0, u₂(1) = 0 shartni
qanoatlantiradigan va o‘zaro chiziqli bog’liqsiz qilib, quyidagicha tanlab olamiz:
u j (x ) = x ( x - 1) = x² - x; u ₂( x ) = x ²( x - 1) = x³ - x².
Ishchi formulalarda foydalaniladigan quyidagi operatorlarni hisoblashni tashkil qilaylik.
L[u₁] ° u -2u1 + x³u_t = 2 - 2(2x -1) + x³( x² - x) = 2 - 4x + 2 + x⁵ - x⁴ =
= x⁵ - x⁴ - 4x + 4
L[u₂] ° u₂ -2u₂ + x³u₂ = 6x-2-2(3x² -2x) + x³(x³ -x²) =
= 6x - 2 - 6x² + 4x + x⁶ - x⁵ = x⁶ - x⁵ - 6x² +10x - 2.
Endi quyidagi (6.29) sistemaga mos tenglamalar sistemasining koeffisientlari va ozod hadlarini hisoblashni tashkil etaylik.


(6.30)
^m11^C1 + ^m12^C2 = ^b1 ^m21^C1 + ^m22^C2 = ^b2
bu yerda
11
m₁₁ =|L[u₁]• u₁(x)dx = |(x⁵ -x⁴ -4x + 4)• (x² -x)dx;
0 0
11
m₁₂ =| L[u₂] • u₁(x)dx = | (x⁶ - x⁵ - 6x² +10x - 2) • (x² - x)dx;
00
11
m₂₁ =| L[u₁ ] • u₂ (x) • dx = | (x⁵ - x⁴ - 4x + 4) • (x³ - x²) • dx ;
00
11
m₂₂ = IL[u₂]u₂(x)dx =|(x⁶ -x⁵ -6x² +10x-2) • (x³ -x²) • dx ;
00
11
b₁ = | (L[u₀] - f (x))u₁(x)dx =| (12x² - 8x³ + x⁷ - x² + 2) • (x² - x)dx;
00
11
b₂ = | (L[u₀] - f (x))u₂(x)dx =| (12x² - 8x³ + x⁷ - x² + 2) • (x³ - x²)dx;
00
Barcha koeffisientlarni integrallarni hisoblash orqali aniqlab olingach, (6.30) chiziqli algebraik tenglamalar sistemasini c, va c₂ noma'lumlarga nisbatan yechishni Gauss usuli bilan tashkil qilamiz. Hosil qilingan natijalarni, ya'ni c, va c₂ larning qiymatlarini y = u₀(x) + c, • u,(x) + c₂ • u₂(x) formulaga qo‘yib, berilgan chegaraviy masalaning taqribiy-analitik yechimini hosil qilamiz.

ms
Galyorkin usulida yechim analitik ko‘rinishda qidiriladi, u holda yechimning xatoligi qaerdan kelib chiqadi?
Galyorkin usulining ishchi algoritmi uchun blok-sxema
( )

n
T

m_ij (i = 1, n, j = 1, n), b_t (i = 1, n) larni hisoblash

prosedurasiga murojaat
Gauss usulini hisoblash prosedurasiga murojaat
^c1, ^c2,...,^cn


c
y = u₀(x) + c₁ ■ u₁(x) + c₂ ■ u₂(x) + ...c_nu_n
Algoritmning dastur matni
Program Galerkin;
Const q=2;
Type
Mas=array[l..q,l..q] of real;
Masl=array[l..q] of real;
Var
fx,lu0,lu1,lu2,a,b,z,x,h:Real; m:Mas; C,M1:Mas1; i:Integer;
Function F(X:Real; K:Integer):Real;
var
u0,u1,u2,u3:real;
begin
lu0:=Sqr(x)-2;
u1:=Sqr(x)-x;
lu1:=sqr(x)*sqr(x)*x-x*x*x*x-4 *x+4;
lu2:=Sqr(x)*Sqr(x)*Sqr(x)-sqr(x)*sqr(x)*x-6*x*x+10*x-2;
fx:=12*x*x-8*x*x*x+sqr(x)*sqr(x)*sqr(x)*x;
case K of
1:F:=lu1*u1;
2:F:=lu2*u1;
3:F:=lu1*u1*x;
4:F:=lu2*u1*x;
5:F:=fx-lu0)*u1;
6:F:=(fx-lu0)*u1*x;
end;end;
function Integ(a,b:Real; k:Integer):Real; var
y,h1:Real; i:Integer; begin
h1:=(b-a)/20; y:=(f(a,k)+f(b, k))/2; write(y:12:3);
for i:=1 to 19 doy:=y+f(a+i*h1,k); y:=y*h1;
Integ:=y;
writeln (y:12:3);end;
Procedure Gauss(A:Mas; B:Mas1; Var x:Mas1; N:Integer); var
k,m,l:Integer; s:Real; begin
for k:=1 to n-1 do for m: =k+1 to n do begin
for l:=k+1 to n do
A[m,l]:=A[m,l]-A[m,k]*A[k,l]/A[k,k];

B[m]: =B[m]-A[m,k]*B[k]/A[k,k]; end; x[n]: =B[n]/A[n,n]; for k:=n-1 downto 1 do begin s:=0;
for i:=k+1 to n do s:=s+A[k,i]*X[i];
X[k]: =(B[k]-s)/A[k,k]; end;end; begin
Write('a,b=');Readln(a,b);
M[1,1]:=Integ(a,b,1);
M[1,2]:=Integ(a,b,2);
M[2,1]:=Integ(a,b,3);
M[2,2]:=Integ(a,b,4);
M1[1]:=Integ(a,b,5);
M1[2]:=Integ(a,b, 6);
Gauss(M,M1,C,q);
For i:=1 to q do writeln(c[i]:12:4);
For I:=0 to 10 do begin h:=(b-a)/10; x:=a+i*h;
z:=x+c[1]*(x*x-x)+c[2]*(x*x*x-x*x);
Writeln('x=',x:2:2,' z=',z:2:8,' a=\ sqr(x)*sqr(x):2:8,' ', abs(z- sqr(x)*sqr(x)):2:8); end;end.
Yuqoridagi misol uchun dastur ta'minotini ishlatib, olingan natijalar
quyidagi jadvalda keltirilgan: c[1]= 0.7431 c[2]=1.9562

x	taqribiy	aniq	xatolik
xq0.0	0.00000000	0.00000000	0.00000000
xq0.1	0.01551908	0.00010000	0.01541908
xq0.2	0.01851317	0.00160000	0.01691317
xq0.3	0.02071920	0.00810000	0.01261920
xq0.4	0.03387413	0.02560000	0.00827413
xq0.5	0.06971492	0.06250000	0.00721492
xq0.6	0.13997851	0.12960000	0.01037851
xq0.7	0.25640186	0.24010000	0.01630186
xq0.8	0.43072193	0.40960000	0.02112193
xq0.9	0.67467566	0.65610000	0.01857566
xq1.0	1.00000000	1.00000000	0.00000000

Natijalardan va xatolik miqdorini kam ekanligidan ishlab chiqilgan algoritmlardan amaliy masalalar yechishda foydalanish mumkin degan xulosa kelib chiqadi.

f
Nazorat savollari

1. 
   Galyorkin usuli qanday usullar guruhiga kiradi? Nima uchun?
   
2. 
   Galyorkin usulida bazis funksiyalar qanday tanlanadi?
   
3. 
   Galyorkin usulida hosil bo‘lgan tenglamalar sistemasi qaysi usulda yechiladi?
   
4. 
   Galyorkin usulida aniqlikni oshirish imkoni bormi?
   

XULOSA
S Ushbu bobda differensial tenglamaning asosiy sinflari, oddiy va xususiy hosilali differensial tenglamaning umumiy ta'rifi keltirildi.
S Oddiy differensial tenglamaning umumiy va xususiy yechimi tushunchasi bayon qilindi va yechish usullari guruhlari tahlil etildi.
S Koshi masalas ini yechishning Eyler va Runge-Kutta usullari uchun hisoblash algoritmlari v dastur ta'minotlaritavsiya qilindi.
S Chegaraviy masalani yechishda qo‘llaniladigan turli hil chekli ayirmali formulalar hosil qilinib, ular yordamida ikkinchi tartibli oddiy differensial tenglama sonli taqribiy usulda yechildi.
S Chegaraviy masalani yechishda taqribiy-analitik usullar guruhiga kiruvchi Galyorkin usuli va unga mos ishchi algoritm-lar hamda dastur ta'minotlari keltirildi.
S Barcha ishlab chiqilgan dastur ta'minotlari aniq masalar uchun qo‘llanilib, olingan natijalar tahlil etildi. Pirovardida tavsiya qilingan hisoblash algoritmlarining ishonchliligi tasdiqlandi.
Bobga doir muammoli vaziyatlar!
0 Matematik modellari oddiy differensial tenglamalar orqali ifodalanuvchi jarayonlarga misollar keltira olasizmi? Hosila bilan ishtirok etuvchi parametrlar amalda qanday qonuniyatlar orasida o‘zgarishi mumkin?
0 Differensial tenglamaning umumiy yechimini ifodalovchi funksiya bir nechta o‘zgarmaslarga bog’liq bo‘lsa ham amaliy jarayonning u yoki bu xususiyatini tavsiflashi mumkinmi?
0 Eyler usuli foydalanish va o‘zgarish uchun juda qulay bo‘lganidan amalda keng qo‘llaniladi degan mulohazalarga qo‘shilasizmi?
0 Chegaraviy masalalarga qo‘shimcha shartlarning yetarli emas- ligini qanday oqibatlarga olib kelishi mumkinligini tushintira olasizmi?
0 Chegaraviy masalani yechish uchun qaysi usullar guruhini qo‘llagan maqsadga muvofiq deb o‘ylaysiz?
0 Chekli ayirmali usullarda qo‘llaniladigan o‘ng va chap chekli ayirmali formulalarning qaysi birida xatolik miqdori kamroq bo‘lishi mumkin? Markaziy chekli ayirmali formulada xatolikning yanada kam bo‘lishi ehtimoli mavjudmikin? Fikringizni tushuntiring.
0 “Haydash usuli”ning nomlanishi usulning mohiyatiga ko‘ra qandaydir ma'noni anglatmasmikin? Ya‘ni bu usulda aynan nima “haydalishi” mumkin?
0 Galyorkin usulida n=3 bo‘lgan hol uchun tafovut funksiyasini va unga mos tenglamalar sistemasini hosil qila olasizmi? n ning katta bo‘lgan qiymatlai orqali aniqlikni oshirish fikriga qo‘shilasizmi?
0 Galyorkin usulida izlanayotgan funksiya tarkibida ishtirok etuvchi koeffisient funksiyalarning nima uchun aynan chiziqli bog’liqmas bo‘lishi talab etiladi?