Boshlang'ich funksiya va aniqmas integral xosalari. Aniqmas integrallar jadvali reja

3. Aniqmas integral xossalari.
Aniqmas integral quyidagi xossalarga ega:
1) aniqmas integralning hosilasi integral ostidagi funksiyaga teng:

2) aniqmas integralning differensiali integral belgisi ostidagi ifodaga teng:

3) uzluksiz differensiallanuvchi funksiyaning differensialidan olingan aniqmas integral shu funksiya bilan ixtiyoriy o‘zgarmas C ning yig‘indisiga teng:

4) o’zgarmas A ko‘paytuvchini integral belgisi tashqarisiga chiqarish mumkin:

5) chekli sondagi funksiyalarning algebraik yig‘indisidan olingan aniqmas integral shu funksiyalarning har biridan olingan aniqmas integrallarning algebraik yig‘indisiga teng:





4. Integrallash usullari
Integrallashning eng asosiy usullarini qarab chiqamiz: yoyish, o‘zgaruvchini almashtirish va bo‘laklab integrallash.
1) Yoyish usuli. Bu usul integral ostidagi funksiyani, har biri jadval integraliga keladigan, bir nechta funksiyalar yig‘indisiga yoyishga asoslanadi.
Misollar: Integrallarni toping: a)  ; b) 

a) 

b) 

2) Aniqmas integralda o‘zgaruvchini almashtirish.

Jadvalda qatnashmagan integralni hisoblash kerak bo‘lsin. x ni t erkli o‘zgaruvchining biror differensiallanuvchi funksiyasi orqali ifodalaymiz: , bunga teskari funksiyasi mavjud bo‘lsin, u holda va bo‘lib, integral jadvaliga mos keladigan integral hosil qilamiz.
Misollar:
1)  ning integralini toping. O’zgaruvchini almashtiramiz:

natijada, .
2)  ning integralini toping.
belgilash kiritamiz. U holda x-2=t², x=t²+2, dx=2tdt bo‘ladi.
Natijada,
.
3) Bo‘laklab integrallash. Integrallash quyidagi

formula yordamida amalga oshiriladi. Bu yerda u, v – differensialla-nuvchi funksiyalar.
Bu formulani qo‘llash uchun, integral ostidagi ifoda ikki qismga ajratiladi va birinchi qismini u, qolgan qismini esa dv deb olinadi, natijada berilgan integralga nisbatan oson integrallanadigan integral hosil bo‘ladi.
Misollar: Integralni toping:
u=lnx, dv=x²dx belgilashlar kiritamiz. U xolda hosil bo‘ladi. Formulani qo‘llash natijasida,
.
Misol. Integralni toping:
u=arctgx, dv=dx deb olamiz. Unda