Buxoro davlat universiteti

1.2.9-misol. Bitta parametrga bog’liq bo’lgan egri chiziqlar oilasining differensial tenglamasi tuzilsin.

Yechish.Ma’lumki bitta parametrga bog’liq bo’lgan egri chiziqlar oilasining umumiy tenglamasi

(1.2.8)

dan iborat. Bunda c- parametr bo’lib, F funksiya x, y(x) larga nisbatan uzluksiz differensialanuvchi funksiya (1.2.8) dan

(1.2.9)

hosilani olamiz. (1.2.8) va (1.2.9) dan parametr _c ni yo’qotsak izlanayotgan

differensial tenglamaga ega bo’lamiz.

I.bob yuzasidan xulosa
I bobda dastlab bitiruv malakaviy ishining asosiy tushunchalari,yani, darajali qatorlar haqida va oddiy differensial tenglamalar haqida ma’lumot berilgan.
II. DARAJALI QATORLAR YORDAMIDA DIFFERENSIAL TENGLAMALARGA QO’YILGAN MASALALARNI YECHISH.

2.1.Differensial tenglamalarga qo’yiladigan masalalar.

Hosilaga nisbatan yechilmagan birinchi tartibli oddiy differensial tenglamalar ushbu

(2.1.1)

ko’rinishda yoziladi. Bu yerda uch argumentli funksiya bo’lib, uch o’lchovli fazoning ochiq to’plamida ( sohada) aniqlangan. Agar bu to’plamni tekisligiga ortogonal proyeksiyalasak, da biror ochiq to’plam ( soha) hosil bo’ladi.

2.1.1-ta’rif. (2.1.1) differensial tenglama berilgan bo’lib, funksiya fazoning sohasida aniqlangan bo’lsin. Agar (ochiq, yopiq yoki yarim ochiq) intervalda aniqlangan funksiya uchun quyidagi uchta shart:

(2.1.2)

bajarilsa, bu funksiya intervalda (2.1.1) differensial tenglamaning yechimi deyiladi. (2.1.1) tenglamaning yechimiga mos egri chiziq (ya’ni funksiyaning grafigi) uning integral egri chizig’i (yoki soddagina integral chizig’i) deyiladi.

Agar parametrik ko’rinishda berilgan ( parametr ning o’zgarish sohasi yopiq, ochiq, yarim ochiq intervaldan iborat) funksiya uchun bo’lib, quyidagi uchta shart:

bajarilsa, u holda funksiya intervalda (2.1.1) differensial tenglamaning yechimi deyiladi. Ba’zi hollarda yechimni shu ko’rinishda izlash yoki yozish qulay bo’ladi.

(2.1.1) differensial tenglama uchun ham

(*)

differensial tenglama uchun aytilgandek yechim uch: ko’rinishdan bittasi orqali izlanadi.

Agar (2.1.1) differensial tenglama ga nisbatan bir qiymatli yechilishi mumkin bo’lsa, u holda (*) differensial tenglamaga kelamiz. Ammo (2.1.1) doim bir qiymatli yechilavermaydi.

(2.1.1) differensial tenglama ochiq to’plamning har bir nuqtasida ning bitta yoki bir nechta qiymatlarini aniqlasin deylik. Har bir nuqtada dan foydalanib bitta yoki bir nechta birlik vektor chizamiz. Natijada yo’nalishlar maydoni hosil bo’ladi. Endi integral chiziqlarning taqribiy tasvirini olishimiz mumkin.

Umumiy yechim tushunchasini kiritishdan avval (2.1.1) tenglama uchun Koshi masalasini qo’yamiz.

Koshi masalasi: (2.1.1) differensial tenglamaning boshlang’ich shartni qanoatlantiruvchi yechimi topilsin yoki geometrik nuqtai nazardan, (2.1.1) differensial tenglamaning nuqtadan o’tuvchi integral chizig’i ko’rsatilsin.

(2.1.1) differensial tenglama ga nisbatan yechilishi mumkin deylik. U holda nuqtaning biror atrofida uchun bir necha haqiqiy qiymatlarni (haqiqiy funksiyalarni) topamiz:

(2.1.3)

Agar har bir funksiya biror mavjudlik va yagonalik teoremasining shartlarini qanoatlantirsa, u holda nuqtadan (2.1.1) differensial tenglamaning ta integral chizig’i o’tadi. Ba’zi funksiyalar kompleksi bo’lsa, u holda biz faqat funksiyalar bilan ish ko’ramiz. Bu holda nuqtadan tegishli differensial tenglamaning ta integral chizig’i o’tadi.

2.1.2-ta’rif. (2.1.1) differensial tenglama nuqtaning biror atrofida ga nisbatan yechilishi mumkin, ya’ni (2.1.3) tenglamalarga ajraladi deylik. Agar har bir (2.1.3) tenglama

(2.1.4)

umumiy yechimga ega yoki

ixtiyoriy o’zgarmas (2.1.5)

umumiy integralga ega bo’lsa, u holda (2.1.4) umumiy yechimlar to’plami (yoki (2.1.5) umumiy integrallar to’plami) berilgan (2.1.1) differensial tenglamaning umumiy yechimi (yoki umumiy integrali) deyiladi.

Kiritilgan ta’rif (2.1.1) tenglama ga nisbatan cheksiz ko’p yechimga ega bo’lgan hol uchun ham o’rinli bo’ladi.

2.1.3-ta’rif. Agar (2.1.1) tenglamaning biror intervalda aniqlangan yechimining har bir nuqtasida Koshi masalasi yagona yechimga ega bo’lsa, u holda yechim berilgan tenglamaning xususiy yechimi deyiladi.

Yuqoridagi ta’riflar munosabati bilan maxsus yechim tushunchasini kiritish lozim bo’ladi.

2.1.4-ta’rif. Agar funksiya (2.1.1) tenglamaning intervalda aniqlangan yechimi bo’lib, funksiya bilan tavsiflanadigan integral chiziqning har bir nuqtasidan integral chiziqdan tashqari shu nuqtada bilan bir xil yo’nalishga ega bo’ladigan, ammo o’sha nuqtaning ixtiyoriy atrofida undan farq qiladigan yana boshqa integral chiziq o’tsa, u holda yechim (2.1.1) tenglamaning intervalda aniqlangan maxsus yechimi bo’ladi.

2.1.1-Misol.

differensial tenglamani ko’rinishda yozish mumkin. Ma’lumki, abssissa o’qi (ya’ni chiziq) va kubik parabolalar bu tenglama uchun integral chiziq bo’lib xizmat qiladi. Ammo chiziqning har bir nuqtasidan bir xil yo’nalishda ikkita integral chiziq o’tadi. Shuning uchun maxsus yechimdir.

2.1.1-teorema. Agar (2.1.1) differensial tenglamada funksiya uchun ushbu ikkita shart:

(2.1.6)

tenglamaning biror haqiqiy ildizi uchun nuqtaning biror atrofida funksiya uzluksiz va birinchi tartibli uzluksiz xususiy hosilalarga ega;

bajarilsa, u holda shunday mavjud bo’ladiki, (2.1.1) differensial tenglamaning oraliqda aniqlangan , shartlarni qanoatlantiruvchi yagona yechimi mavjud.

Isbot. Oshkormas funksiyalar haqidagi ma’lum teoremaga ko’ra (2.1.1) tenglama da ni bir qiymatli funksiya sifatida aniqlaydi, ya’ni

, (2.1.7)

bunda funksiya yopiq to’plamda uzluksiz, birinchi tartibli uzluksiz xususiy hosilalarga ega va . Shuning uchun funksiya yopiq to’plamda bo’yicha Lipshis shartini qanoatlantiradi. Demak (2.1.7) differensial tenglama Pikar teoremasiga asosan oraliqda aniqlangan yagona yechimga ega bo’lib, bo’ladi. Xuddi shu yechimga (1) tenglama ham ega. Endi ekanini ko’rsataylik. Haqiqatan, (2.1.7) tenglama uchun ayniyatga aylanadi: .

Agar bo’lsa, .