Buxoro davlat universiteti

Funksiyani teylor qatoriga yoyish. Faraz qilaylik, funksiya biror da istalgan tartibdagi hosilalarga ega bo’lsin.

1.1.11-teorema. Agar da

bo’lsa, funksiya da teylor qatoriga yoyiladi:

(1.1.20)

Ma’lumki, funksiyaning Lagranj ko’rinishidagi qoldiq hadli teylor formulasi quyidagicha bo’ladi:

,

bunda,

.

teoremaning shartidan foydalanib topamiz:

.

Ravshanki,

.
1.2 Differensial tenglamalar haqida umumiy ma’lumotlar.

Differensial tenglamalar fizika, mexanika, differensial geometriya, variyatsion hisob, issiqlik texnikasi, elektrotexnika, kimyo, biologiya va iqtisod kabi fanlarda keng qo’llaniladi.

Bu fanlarda uchraydigan ko’plab jarayonlar differensial tenglamalar yordamida tavsiflanadi.Shu tenglamalarni o’rganish bilan tegishli jarayonlar haqida biror ma’lumotga, tasavvurga ega bo’lamiz.

O’sha differensial tenglamalar, o’rganilayotgan jarayonning matematik modelidan iborat bo’ladi.Bu model qancha mukammal bo’lsa,differensial tenglamalarni o’rganish natijasida olingan ma’lumotlar jarayonlarni shuncha to’la tavsiflaydi.Shuni aytib o’tish keraki, tabiatda uchraydigan turli jarayonlar bir xil differensial tenglamalar bilan tavsiflanishi mumkin.

1.2.7-ta’rif. Differensial tenglama deb, erkli o’zgaruvchi  , noma’lum funksiya  va uning hosilalari orasidagi bog’lanishdan iborat bo’lgan tenglamaga aytiladi.

U simvolik ravishda

(1.2.1)

ko’rinishda yoziladi.

Bunda _F ko’rilayotgan sohada o’z argumentlarining uzluksiz funksiyasidir.(1.2.1) tenglamada erkli o’zgaruvchi, noma’lum funksiya va hosilalardan bir nechtasi qatnashmasligi mumkin. Lekin u differensial tenglama bo’lsa, u holda hosilalardan hech bo’lmaganda bittasi qatnashishi shart.

Differensial tenglama tarkibiga kirgan hosilalarning eng yuqori tartibiga, differensial tenglamaning tartibi deyiladi.

Masalan (1.2.1) tenglama, n-chi tartibli differensial tenglamadir.

Agar tenglamadagi noma’lum funksiya faqat bitta erkli o’zgaruvchiga bog’liq bo’lsa, bunday tenglamaga oddiy differensial tenglama deyiladi (ODT).

Agar tenglamadagi noma’lum funksiya bir nechta erkli o’zgaruvchiga bog’liq bo’lsa, tenglamada har bir erkli o’zgaruvchilar bo’yicha olingan xususiy hosilalar qatnashishi mumkin. Bunday differensial tenglamalarga xususiy hosilali differensial tenglama deyiladi.

Masalan _U(x,y) funksiya ikkita agrumentga bog’liq bo’lsin.

U holda

(1.2.1)

tenglamaga ikkinchi tartibli xususiy hosilali differensial tenglama

deyiladi.

(1.2.2)

ga esa birinchi tartibli xususiy hosilali differensial tenglama deyiladi.

Birinchi tartibli ODT ning umumiy ko’rinishi

(1.2.3)

dan iborat.

Agar bu tenglamani ga nisbatan yechish mumkin bo’lsa tenglama hosilaga nisbatan yechilgan birinchi tartibli differensial tenglama deyiladi. Bunda funksiya tekislikning (sonlar tekisligi R -haqiqiy sonlar to’plami) sohasida aniqlangan bo’lsin. Agar (ochiq, yopiq yoki yarim ochiq) intervalda aniqlangan funksiya uchun quyidagi uchta shart:

bajarilsa, u holda bu funksiya integralda (1.2.4) tenglamaning yechimi deyiladi.

Agar

(1.2.5)

(1.2.5) funksiya, (1.2.4) tenglamani qanoatlantirsa, unga tenglamaning umumiy yechimi deyiladi.Bunda  ixtiyoriy o’zgarmas son (parametr) ba’zi vaqtlarda umumiy yechim oshkormas

(1.2.6)

ravishda berilishi mumkin (1.2.25) yechimga, tenglamaning umumiy integrali deyiladi.

Tenglamaning umumiy yechimi yoki umumiy integrali, geometrik nuqtayi nazardan, bitta parametrga bog’liq bo’lgan egri chiziqlar oilasini ifodalaydi. Tekislikda har bir yechim egri chiziqdan iborat. Unga tenglamaning integral chizig’i deyiladi. (1.2.4)tenglamani geometrik nuqtai nazardan tekshiramiz.

X va y o’zgaruvchini tekislikdagi nuqtaning dekart koordinatalari uchun qabul qilsak, u holda funksiya aniqlangan sohaning har bir x,y nuqtasiga (1.2.4) tenglama, sohaning har bir nuqtadan o’tuvchi integral chiziqqa o’tkazilgan urinmaning burchak koeffisiyentini ifodalaydi. Boshqacha aytganda qiymatini mos qo’yadi. ning qiymati, integral chizig’ining ixtiyoriy nuqtasiga o’tkazilgan urinmaning absissa o’qining musbat yo’nalishi bilan tashkil etgan burchakning tg ini bildiradi. Ya’ni har bir nuqtada urinmaning yo’nalishini aniqlaydi.Biz yo’nalishlar maydoniga ega bo’lamiz.

Demak geometrik nuqtai nazardan birinchi tartibli differensial tenglamani yechish, shunday chiziqlarni topish kerakki uning har bir nuqtasiga o’tkazilgan urinmaning yo’nalishi, shu nuqtadagi yo’nalishlar maydoniga mos kelsin.

1.2.8-ta’rif. Bir xil yo’nalish maydoniga ega bo’lgan nuqtalarning geometrik o’rniga izoklina deyiladi.

Izoklinalarga ko’ra, differensial tenglamalarning integral chiziqlarni chizish mumkin.