Chiziqli operatorning xos son va xos vektorlari. Xos vektorlari bazis tashkil qiluvchi chiziqli operatorlar. Chiziqli operatorning xos vektorlari bazis tashkil qilishining yetarli sharti

2- misol. Chizqli operator matritsa bilan berilgan. Chiziqli operatorning xos qiymatlari va xos vektorlarini toping.
Yechish. Xarakteristik tenglama tuzamiz:
xos qiymatga mos xos vektorni topamiz. Buning uchun quyidagi tenglamani yechamiz:

Agar deb olsak, boʻladi. Demak vektor operatorning xos qiymatiga mos xos vektor boʻladi. Xuddi shunga oʻxshab xos qiymatga mos xos vektorlarni aniqlash mumkin.

*** * * * *
3-masala. Q uyidagi matritsaning chiziqli almashtirish yordamida xos vektorini toping

Yechish:Masalaning sharti bo'yicha xos vektorlarni topish kerak, ammo qonuniyat bo’yicha birinchi xos sonlarni topishni talab qiladi.
"Lambda"ni matritsaning barcha asosiy diagonalidan ajratib olamiz va uning xaraktrestik tenglamasini tuzamiz:

Aniqlovchini 1-ustunda topamiz:

Kubik tenglamani ozod hadning ko‘paytuvchilari bo‘yicha yechib, quyidagi tenglama ildizlariga ega bo‘lamiz,

Xos vektorlarni topamiz:

1) qiymatni determinantga qo’yamiz va undan bir jinsli sistema koeffitsientlarini hosil qilamiz:

Bir jinsli tenglamalar sistemasini yechib,

Xos son qiymatiga mos xos vektor:
2) qiymatni determinantga qo’yamiz va undan bir jinsli sistema koeffitsientlarini hosil qilamiz:

Bir jinsli tenglamalar sistemasini yechib,

Xos son qiymatiga mos xos vektor: .
3) qiymatni determinantga qo’yamiz va undan bir jinsli sistema koeffitsientlarini hosil qilamiz:

Bir jinsli tenglamalar sistemasini yechib,

Xos son qiymatiga mos xos vektor:
Xos vektorlarni quyidagi ko‘rinishda ham yozish mumkin:

* * * * * * * * *

Auditoriya topshiriqlari

1. Tayinlangan bazisda quyidagi matritsalar yordamida berilgan
chiziqli operatorlarning xos vektorlarni toping:

1. s)
   

2. d)
   

2. Agar tayinlangan bazisda (yoki bazisda) chiziqli operatorlar

1. b) c)
   

matritsalar bilan berilgan boʻlsa, shu chiziqli operatorlar va da diagonal koʻrinishda boʻladigan bazislarni toping.