Chiziqli tenglamalar sistemasini yechish usullari Arifmetik vektorlar va ular ustida amallar

2. Sistemaning umumiy yechimi. Gauss usuli. Gauss usulining Gauss-Jordan modifikatsiyasi

m ta noma`lumli n ta chiziqli tenglamalar sistemasi berilgan bo`lsin.

Agar sistema tenglamalarining birida x_k (k = {1, 2, …, m}) noma`lum +1 koeffitsient bilan qatnashib, qolgan barcha tenglamalarida x<sub>k</sub> noma`lumli hadlar mavjud bo`lmasa yoki yo`qotilgan bo`lsa, siste-ma x<sub>k</sub> noma`lumga nisbatan ajratilgan yoki x_k noma`lum sistemaning ajratilgan noma`lumi deyiladi. Ajratilgan noma`lum bazis noma`lum deb ham yuritiladi.
Sistemaning har bir tenglamasi ajratilgan yoki bazis noma`lumga ega ko`rinishiga noma`lumlari ajratilgan yoki bazisga keltirilgan sistema deyiladi. Har qanday birgalikdagi sistema o`zining ajratilgan yoki bazis noma`lumlari tizimi mavjudligi bilan xarakterlanadi. Noma`lum-lari ajratilgan yoki bazisga keltirilgan sistemaning ajratilgan yoki bazis noma`lumlari tizimiga tegishli bo`lmagan noma`lumlari ajratilmagan, ozod yoki erkli noma`lumlar deb ataladi. Masalan, quyidagi

noma`lumlari ajratilgan yoki bazisga keltirilgan sistemada x<sub>1</sub>, x<sub>3</sub> va x<sub>4</sub> ajratilgan yoki bazis noma`lumlar bo`lsa, x<sub>2</sub> va x<sub>5</sub> noma`lumlar esa ozod yoki erkli noma`lumlardir.

Agar noma`lumlari ajratilgan yoki bazisga keltirilgan sistemaning har bir noma`lumi uning ajratilgan yoki bazis noma`lumlari tizimiga tegishli bo`lsa, sistema aniq, ya`ni yagona yechimga ega bo`ladi. Agarda noma`lumlari ajratilgan sistema erkli noma`lumlarga ham ega bo`lsa, aniqmas, ya`ni cheksiz ko`p yechimlarga ega bo`ladi.
Berilgan dastlabki shakldagi sistemaning umumiy yechimi deb, unga teng kuchli bo`lgan noma`lumlari ajratilgan yoki biror-bir bazisga keltirilgan sistemaga aytiladi.
Sistemaning umumiy yechimini qurish usuliga esa Gauss usuli deyiladi. Sistemaning barcha yechimlarini topish uchun uning umumiy yechimini qurish yetarli. Berilgan sistemaning umumiy yechimini aniq-lash uchun uning ustida quyidagi elementar almashtirishlar bajariladi:
1) sistema tenglamalari o`rinlarini almashtirish mumkin;
2) sistema biror-bir tenglamasi ikkala qismini biror noldan farqli songa ko`paytirish mumkin;
3) sistema biror-bir tenglamasiga uning boshqa tenglamasini songa ko`paytirib, qo`shish mumkin.
Agar sistemani almashtirish jarayonida

0x₁ + 0x₂ + … + 0x_m = 0

nol yoki trivial tenglama hosil bo`lsa, u o`chiriladi. Agarda,

0x₁ + 0x₂ + … + 0x_m= b (b ≠ 0)

zid yoki qarama-qarshi tenglama hosil bo`lsa, sistemaning o`zi ham zid, ya`ni birgalikda emas.
Sistema umumiy yechimini qurish usuli – Gauss usulining bir necha modifikatsiyalari mavjud. Quyida Gaussning klassik yoki ixcham sxe-ma usuli va Jordan modifikatsiyalari bilan tanishamiz.
Gaussning klassik yoki ixcham sxema usuli to`g`ri va teskari yurishlardan iborat. To`g`ri yurishda sistemaning asosiy matritsasi trapetsiyali yoki uchburchakli ko`rinishga keltiriladi. Teskari yurishda uning noma`lumlari ketma-ket ravishda aniqlanadi va umumiy yechim quriladi.
Masala. 5 - mavzuda Kramer formulalari yordamida yechilgan (1) sistemani Gaussning klassik usulida yeching.

Gauss usulining Jordan modifikatsiyasi mazmun-mohiyati quyidagidan iborat: dastlabki normal ko`rinishda berilgan sistemaning kengaytirilgan (A | B) matritsasi quriladi. Yuqorida zikr etilgan sistemani teng kuchli sistemaga aylantiruvchi elementar almashtirishlardan foydalanib, kengaytirilgan matritsaning chap qismida yoki uning qism ostida birlik matritsa hosil qilinadi. Bunda birlik matritsadan o`ngda yechimlar ustuni hosil bo`ladi. Gauss-Jordan usulini quyidagicha sxematik ifodalash mumkin:

(A | B) ~ (E | X^*).

Chiziqli tenglamalar sistemasini yechish Gauss-Jordan usuli no-ma`lumlarni ketma-ket yo`qotish Gauss strategiyasi va teskari matritsa qurish Jordan taktikasiga asoslanadi. Teskari matritsa oshkor shaklda qurilmaydi, balki o`ng ustunda bir yo`la teskari matritsaning ozod hadlar ustuniga ko`paytmasi – yechimlar ustuni quriladi.

Masala. 5 – mavzuda Kramer formulalari yordamida yechilgan sistemalarni Gauss-Jordan usulida yeching.

1)   

  .

2)  

Sistema aniqmas bo`lib, umumiy yechim ko`rinishlaridan biri (x₁; -5x₁ –13; -7x₁ –20 ) shaklga ega. Bu yerda, x₁ erkli noma`lum va x₁  R.

3)  

Sistemaning ikkinchi tenglamasi zid tenglama. Demak, sistemaning o`zi ham zid, ya`ni birgalikda emas.