Chiziqsiz tenglamalar sistemasini yechishning iteratsion usullari Reja

Chiziqsiz tenglamalar sistemasini yechishning iteratsion usullari
Reja:

1. 
   CHiziqli bo`lmagan tenglamalar tizimining moxiyati va axamiyati.
   
2. 
   Ketma – ket (boshlang’ich) yaqinlashish usuli.
   
3. 
   Usulning ishchi algoritmi.
   

Tayanch iboralar:
Xususiy hosila, chiziqli tenglama, oddiy iteratsiya, chiziqli bulmagan tenglama, uzluksiz tizim, boshlangich yaqinlashish, kvadrat to`g’ri turtburchak, birinchi yaqinlashish, ikkinchi yaqinlashish.

1. 
   CHIZIQLI BO`LMAGAN TENGLAMALAR TIZIMINING MOXIYATI VA AXAMIYATI
   

Shu paytgacha biz faqat chiziqi tenglamalar tizimini echish usullari bilan tanishdik. endi tenglamalar tizimi chiziqli bulmagan hol ustida tuxtalamiz. Soddalik uchun ikki noma`lumli ikkita chizimi bulmagan tizimni oddiy iteratsiya usuli bilan echishga tuxtalamiz. Bunday tizim quyidagicha yoziladi:

(3.34)

Faraz kilaylik boshlangich x , u yaqinlashishlar berilgan bo`lsin. Berilgan tizimni quyidagicha yozamiz:

(3.35)

hamda bu tizimning ung tomonidagi x va u lar o`rniga boshlangich yaqinlashish x , u larni kuyib, birinchi yaqinlashishni aniqlaymiz:

(3.36)

Xuddi shuningdek ikkinchi yaqinlashishni aniqlaymiz:

x₂ = F (x₁, y₁)

y₂ = F (x₁, y₂) (3.37)

va umuman

(3.38)

Agarda (x, u) va F(x, u) funktsiyalar uzluksiz, hamda x₁, x₂, …, x_n, … va y₁, y₂, …, y_n, … ketma-ketliklar yaqinlashuvchi bo`lsa, u xolda ularning limitlari berilgan tenglamaning echimi bo`ladi.

2. 
   KETMA – KET (BOSHLANG’ICH) YAQINLASHISH USULI
   

Yuqorida keltirilgan iteratsion jarayonning yaqinlashuvchi bo`lish shartlariga tuxtalamiz.

Teorema, x va u (3.34) tizimning aniq echimlari, a <x < b, c <y < d bo`lib, x=a,x=b, y=c va y=d to`g’ri chiziqlar bilan chegaralangan to`g’ri turtburchak ichida boshqa echimlar yo`q bo`lsa, u xolda ko`rsatilgan turri turtburchakda quyidagi

(R₁ + R₂  M < 1 va q₁ + q₂  M < 1) tengsizliklar bajarilsa, iteratsion jarayon yaqinlashuvchi bo`ladi va boshlangich yaqinlashish x,u sifatida turri turtburchakning ixtiyoriy nuqtasini olish mumkin.

Teoremaning isbotini keltirib utirmaymiz.

Misol

tizimning musbat echimini iteratsion usul bilan uch xona aniqlikda toping.

Berilgan tizimni quyidagi ko`rinishda yozib olamiz:

0x1, 0y1 kvadratni karaymiz. Agarda x₀, y₀ nuqta shu kvadratga tegishli bo`lsa, u xolda 00, y<sub>0</sub>) < 1 va 0 0, y<sub>0</sub>) < 1 bo`ladi. (x₀, y₀) boshlangich yaqinlashish qanday tanlanishidan kat`i nazar (x<sub>k</sub>, y<sub>k</sub>) yaqinlashishlar kvadratga tegishli bo`ladi, chunki

Bundan tashqari (x_k, y_k) nuqtalar kvadratga tegishli. Bu kvadrat nuqtalari uchun:

bajariladi.

Demak, ko`rsatilgan kvadratda tizim yagona echimga ega va uni iteratsion usulda aniqlash mumkin.

va deb olamiz, u xolda

Bu erda q₁ = q₂ = 34/72 <0,5 bo`lgani sababli birinchi uchta unlik rakamlarning mos tushganligi kerakli aniqlikdagi echimni topish imkoniyatini beradi. Shunday kilib kuyndagi echimga ega buldik.

x = 0,532; y = 0,351
Takrorlash uchun savollar:

1. 
   Birinchi yaqinlashish qanday aniqlanadi?
   
2. 
   Ikkichni yaqinlashish qanday aniqlanadi?
   
3. 
   Boshlangich yaqinlashish xakidagi teorema?
   
4. 
   Boshlangich yaqinlashish qanday shartga asosan topiladi?
   
5. 
   To`g’ri turtburchakning ifodalovchi tenglamani yozing.
   
6. 
   Iteratsion jarayon yaqinlashuvi shartini yozing.
   
7. 
   Oshkor funktsiya nima?
   
8. 
   Oshkormas funktsiya nima?
   
9. 
   Nuqtani kvadratga tegishlilik shartini yozing.
   
10. 
    Uzluksizlik funktsiya nima?