Çoxhədli üçün Teylor düsturu (Bruk Teylor, 1685-1731, ingilis alimi)

Çoxhədli üçün Teylor düsturu (Bruk Teylor, 1685-1731, ingilis alimi)

Tutaq ki, P(x)=b_o + b₁ (x-a) + b₂(x-a)² + ... + bⁿ(x-a)ⁿ (1) çoxhədlisi verilmişdir.

(1) bərabərliyini ardıcıl olaraq n dəfə diferensiallayıb və (1)-də və diferensiallamadan sonra alınan bərabərliklərdə x=a yazsaq alarıq.

Əldə edilən
(2)

bərabərliyinə çoxhədli üçün Teylor düsturu deyilir.

(2)-də a=0 yazsaq Teylor düsturunun xüsusi halını alarıq ;


(3)

Bu düstura çoxhədli üçün Makloren düsturu deyilir.

İxtiyari funksiya üçün Teylor düsturu
Tutaq ki, funksiyasının x= nöqtəsinin hər hansı ətrafında tərtib də daxil olmaqla törəmələri var, onda f(x) funksiyasını dərəcəli çoxhədlinin cəmi şəklində göstərmək olar.
(1)
Bu çoxhədliyə f(x) funksiyasının n dərəcəli Teylor çoxhədlisi deyilir. f(x) n dərəcəli çoxhədli olduqda T(x)=f(x) olur. Lakin f(x) funksiyası n dərəcəli çoxhədli olmadıqda isə f(x) – T(x) fərqi ümumiyyətlə sıfırdan fərqli olar, yəni
f(x) – T(x) = R_n (x) (2) olar. (2) və (1) -dən alırıq:


(3)

Bu bəbabərliyə f(x) funksiyasının x-a fərqinin qüvvətlərinə görə yazılmış Teylor düsturu, funksiyasına isə Teylor düsturunun qalıq həddi deyilir. -in kiçik olduğu x nöqtəsində f(x) ≈T(x) olur. Yəni, T(x) Teylor çoxhədlisi f(x) funksiyasının təqribi qiyməti hesab olunur. f(x) funksiyası ilə

Teylor çoxhədlisi üçün x=a nöqtəsində f(a)=T(a), f ^' (a)=T(a), ..., f⁽ⁿ⁾(a) = T⁽ⁿ⁾(a) olur. Yerdə qalan nöqtələrdə f(x) funksiyası özünün T(x) Teylor çoxhədlisinə bərabər olmaya bilər. Bu halda f(x) – T(x) = R_n (x) qalıq həddi qədər xəta əmələ gəlir.
Qalıq həddi
(4) şəklində tapılır.
Bu şəkildə yazılan qalıq həddə qalıq həddin Laqranj şəkli deyilir. (4)-də c=a+θ(x-a), (0< θ<1) yazsaq, (4) –dən alırıq:
(5) olar.
(5)-də a=0 götürsək


(6) olar.
(6) ifadəsi Makleron düsturunun qalıq həddi adlanır.