Davriy signallarni Furye qatoriga yoyish

1. Davriy signallarni Furye qatoriga yoyish

Signallarni tahlil qilishda ularni funksional qatorlar yoyilmasi shaklida ifodalash juda muhim hisoblanadi. Funksional qatorlar fizika va matematikada ko‘pgina masalalarni yechishda juda keng ishlatiladi. Ayniqsa trigonometrik, garmonik qatorlar va Furye qatorlari alohida o‘rin egallashadi.
Furye trigonometrik qatori. Cheklanmagan interval 𝑡 ∈ (−∞, ∞) da

𝑘=−∞
aniqlangan davriy signal 𝑠_𝑟⁽𝑡⁾ = ^∑∞
𝑟⁽𝑡 − 𝑘𝑇⁾, 𝑘 = 0, ±1, ±2, … ni quyidagi

Furye trigonometrik qatori ko‘rinishida ifodalash mumkin.
∞

𝑠 ⁽𝑡⁾ = ^𝑎0 + ∑⁽𝑎 cos 𝑘𝜔 𝑡 + 𝑏 sin 𝑘𝜔



𝑡⁾, (2.16)

𝑟 ₂
𝑘
𝑘=1
1 𝑘 1

bunda, 𝜔₁ = ^2𝜋 = ^2𝜋, 𝑓₁ = ¹
𝑣𝑎 𝑘 = 1, 2, ….

𝑇 𝑓₁ 𝑇
Signalni bunday yoyilma (2.16) shaklida ifodalash uchun 𝑟⁽𝑡⁾ signal (𝑟(𝑡) –
^{𝑇 oraliqdagi finit signal)} T ^{davr oralig‘ida Dirixle shartini qanoatlantirishi lozim,} ya’ni

• 
  2-tur uzulishga ega bo‘lmasligi;
  

• 
  chekli sondagi 1-tur uzulishlarga ega bo‘lishi;
  
• 
  chekli sondagi ekstremumlarga ega bo‘lishi kerak.
  

𝑎_𝑘 (shu jumladan 𝑎₀ ham) va 𝑏_𝑘 koeffisiyentlar quyidagi formulalar orqali aniqlanadi
𝑇 𝑇
2 2
𝑎_𝑘 = _𝑇 ∫ 𝑟(𝑡) cos 𝑘𝜔₁𝑡 𝑑𝑡 , 𝑏_𝑘 = _𝑇 ∫ 𝑟(𝑡) sin 𝑘𝜔₁𝑡 𝑑𝑡 . (2.17)
0 0
Ba’zan 𝑎_𝑘 koeffitsiyentni hisoblash umumiy formulasidan 𝑎₀ koeffitsiyent o‘rniga (2.17) formulaga 𝑘 = 0 ni qo‘yib 𝑎₀/2 ni hisoblash qulay, ya’ni
𝑇
𝑎₀ 1
₂ = _𝑇 ∫ 𝑟(𝑡)𝑑𝑡 . (2.18)
0
Amaliyotda (2.16) qatorning ikkinchi ko‘rinishidan foydalanish qulay, ya’ni quyidagi o‘zgartirishni amalga oshirib
𝑎_𝑘 cos 𝑘𝜔₁𝑡 + 𝑏_𝑘 sin 𝑘𝜔₁𝑡 =
_𝑎2 _𝑏2


= ^√𝑎² + 𝑏² ( ^𝑘 cos 𝑘𝜔₁𝑡 + ^𝑘 sin 𝑘𝜔₁𝑡) =

𝑘 𝑘
√𝑎² + 𝑏²
√𝑎² + 𝑏²

𝑘 𝑘 𝑘 𝑘

= ^√𝑎² + 𝑏²⁽cos 𝜑_𝑘 cos 𝑘𝜔₁𝑡 − sin 𝜑_𝑘 sin 𝑘𝜔₁𝑡⁾ = 𝐴_𝑘 cos⁽𝑘𝜔₁𝑡 + 𝜑_𝑘⁾,

𝑘 𝑘

bunda, tg𝜑_𝑘 = − ^𝑏𝑘 , 𝐴_𝑘 = √𝑎² + 𝑏², bo’lib, 𝑠_𝑟(𝑡) signalning Furye qatori

𝑎_𝑘
𝑘 𝑘

ikkinchi ko‘rinishini hosil qilamiz
∞

𝑠 ⁽𝑡⁾ = ^𝑎0 + ∑ 𝐴



cos⁽𝑘𝜔
𝑡 + 𝜑
⁾. (2.19)

𝑟 ₂
𝑘
𝑘=1
1 𝑘

Bu o‘rinda 𝜔_𝑘 = 𝑘𝜔₁ = 2𝜋𝑘𝑓₁ = 2𝜋𝑘/𝑇 belgilanishlar keng ishlatiladi. (2.19) ifodadagi 𝑎₀/2 va 𝐴_𝑘 koeffitsiyentlar majmui 𝑠_𝑟⁽𝑡⁾ signalning
amplituda spektrini, 𝜑_𝑘 koeffitsiyentlar majmui – faza spektrini tashkil etadi. Davriy signalning amplituda va faza spektrlari 2.1-rasmda keltirilgan.

2.1-rasm. Davriy signalning amplituda (a) va faza (b) spektrlari
Furye kompleks qatori. Eyler formulalaridan foydalanib
cos 𝛼 = ¹ (𝑒^𝑗𝛼 + 𝑒^−𝑗𝛼), sin 𝛼 = ¹ (𝑒^𝑗𝛼 − 𝑒^−𝑗𝛼),

2 𝑗2
(2.16) qatorni quyidagi ko‘rinishda ifodalash mumkin
∞



𝑠 ⁽𝑡⁾ = ^𝑎0 + ∑ [^𝑎𝑘 (𝑒^{𝑗𝑘𝜔1𝑡} + 𝑒^{−𝑗𝑘𝜔1𝑡}) + ^𝑏𝑘 (𝑒^{𝑗𝑘𝜔1𝑡} − 𝑒^{−𝑗𝑘𝜔1𝑡})] =

𝑟 ₂
2
𝑘=1
∞
𝑗2
∞

= ^𝑎0 + ∑ ¹ (𝑎 − 𝑗𝑏



)𝑒^{𝑗𝑘𝜔1𝑡} + ∑ ¹ (𝑎 + 𝑗𝑏



_)𝑒−𝑗𝑘𝜔₁𝑡_.

_{2 2} 𝑘 𝑘
𝑘=1
₂ 𝑘 𝑘
𝑘=1

Kompleks amplitudani
^{1 (}𝑎 − 𝑗𝑏





⁾ = 𝐶 , ^{1 (}𝑎 + 𝑗𝑏



⁾ = 𝐶
(2.20)

₂ 𝑘 𝑘
𝑘 ₂ 𝑘 𝑘
−𝑘

va “manfiy” chastota 𝜔_−𝑘 = −𝑘𝜔₁ = −𝜔_𝑘 ya’ni 𝑘 ning o‘zgarish oralig‘iga
𝑘 < 0 qiymatlarni kiritib, (2.16) ifodani quyidagi ko‘rinishga keltiramiz
∞

𝑠 ⁽𝑡⁾ = ^𝑎0 + ∑ 𝐶 𝑒^{𝑗𝜔𝑘𝑡} , 𝑘 ≠ 0.

𝑟 ₂
𝑘
𝑘=−∞

Ushbu ifoda Furye qatorining kompleks shakli deb ataladi. Agar quyidagi
qo‘shimcha o‘zgartirishni kiritsak, ya’ni 𝐶₀ = 𝐶₀ = 𝑎₀/2, Furye kompleks qatorini

quyidagicha ixcham ko‘rinishda yozish mumkin
∞
𝑠_𝑟⁽𝑡⁾ = ∑ 𝐶_𝑘^̇
𝑘=−∞
𝑒^{𝑗𝜔𝑘𝑡} . (2.21)

Furye qatorining kompleks ko‘rinishi matematik o‘zgartirishlar (almashtirishlar)ni bajarishda qulaylik yaratishi bilan ahamiyatga ega.
(2.21) qatorning 𝐶_𝑘 koeffitsiyentlari 𝑠_𝑟⁽𝑡⁾ davriy signalning 𝜔_𝑘, 𝑘 =

0, ±1, ±2, … chastotaning hamma qiymatlarida |𝐶_𝑘
|amplituda va 𝜑_𝑘 = 𝑎𝑟𝑔𝐶_𝑘
faza

spektrlari bilan aniqlangan diskret kompleks spektrini ifodalaydi. 2.2-rasmda |𝐶_𝑘|

amplituda spektri keltirilgan.

2.2-rasm. Davriy signalning Furye kompleks qatoriga yoyishdan foydalanilgandagi amplituda spektri

|𝐶_𝑘
| = |𝐶_−
𝑘| = 𝐶_𝑘 = 𝐴_𝑘/2 ekanligini inobatga olib, (2.21) qatorni kengroq

ko‘rib chiqamiz
∞
𝑠_𝑟⁽𝑡⁾ = ∑ 𝐶_𝑘
𝑘=−∞
𝑒^{𝑗𝜔𝑘𝑡} = ⋯ + 𝐶_−
𝑘𝑒^{−𝑗𝑘𝜔1𝑡} + ⋯ + 𝐶₀ + ⋯ + 𝐶_𝑘
𝑒𝑗𝑘𝜔₁𝑡 _{+ ⋯ ;}

va yana Eyler formulalaridan foydalanib, yig‘indini quyidagicha o‘zgartiramiz

𝐶_−
𝑘𝑒−𝑗𝑘𝜔₁𝑡 _{+ 𝐶𝑘}
𝑒^{𝑗𝑘𝜔1𝑡} = 2𝐶_𝑘 cos 𝜑_𝑘 cos 𝑘𝜔₁𝑡 − 2𝐶_𝑘 sin 𝜑_𝑘 sin 𝑘𝜔₁𝑡 =

= 𝑎_𝑘 sin 𝑘𝜔₁𝑡 + 𝑏_𝑘 sin 𝑘𝜔₁𝑡 = 2𝐶_𝑘 cos⁽𝑘𝜔₁𝑡 + 𝜑_𝑘⁾.
Bunda 𝑎_𝑘 = 2𝐶_𝑘 cos 𝜑_𝑘, 𝑏_𝑘 = −2𝐶_𝑘 sin 𝜑_𝑘 ekanligi e’tiborga olingan. (2.17) ifodani (2.20) ga qo‘yib, quyidagini olamiz

𝐶 = ^{1 (}


𝑇
) ¹ ( )


𝑇
¹ ( )

𝑘 ₂
𝑎_𝑘 − 𝑗𝑏_𝑘
= _𝑇 ∫ 𝑟 𝑡
0
cos 𝑘𝜔₁𝑡 𝑑𝑡 − 𝑗 _𝑇 ∫ 𝑟 𝑡
0
sin 𝑘𝜔₁𝑡 𝑑𝑡 =

𝑇
¹ ( )

−𝑗𝑘𝜔₁𝑡

= _𝑇 ∫ 𝑟 𝑡 𝑒
0
𝑑𝑡 . (2.22)

(2.22) formula bevosita 𝐶_𝑘
ishlatiladi.
, 𝑘 = 0, ±1, ±2, … qiymatlarni hisoblashda

Eslatma 1.
(2.17) va (2.22) ifodalardagi integral chegaralarini o‘zgartirish mumkin,
faqat integrallash oralig‘i butun davrga mos bo‘lishi kerak, ya’ni – 𝑇/2 dan

𝜆
𝑇/2 gacha, yoki −𝑇 dan 0 gacha va h.k. Bu holat 𝑇 davrli 𝑓(𝑡) davriy ^{funksiya uchun} ∫^{𝜆+𝑇 𝑓(𝑡)𝑑𝑡 integralning qiymati 𝜆 ga bog‘liq emasligidan} kelib chiqadi. Ushbu munosabat amaliy masalalarni yechishda qulay hisoblanadi. Masalan (2.17) ifodada integral chegaralarini simmetrik, ya’ni
– 𝑇/2 dan 𝑇/2 gacha deb olsak, (2.17) qator quyidagilardan tashkil topganligini payqash qiyin emas, ya’ni agar 𝑠_𝑟⁽𝑡⁾ funksiya juft bo‘lsa, faqat
𝑎_𝑘 koeffitsiyentli kosinusoidal garmonikalardan, agar 𝑠_𝑟⁽𝑡⁾ funksiya toq bo‘lsa, faqat 𝑏_𝑘 koeffitsiyentli sinusoidal garmonikalardan iborat, bunda integrallash chegaralari 𝑎_𝑘 va 𝑏_𝑘 koeffitsiyentlarni hisoblashda qanday olinishiga bog’liq emas.


Eslatma 2.
Furye qatorlari bo‘yicha topilgan spektrlar ekvidistantligini ta’kidlab o‘tamiz, ya’ni qator koeffitsiyentlari albatta (zaruriy) 𝜔 = 0 tashkil etuvchi va
𝜔₁ = 2𝜋/𝑇 qadam bilan joylashuvchi ekvidistant ketma-ketlik (… , −2𝜔₁, −𝜔₁, 0, 𝜔₁, 2𝜔₁, … ) asosida hosil bo‘ladi. Koeffitsiyentlarning o‘zi esa har qanday qiymatni, shu jumladan nol qiymatni ham qabul qilishi mumkin.


Eslatma 3.
Davriy signallarni Furye qatorlariga yoyishda funksiyalar ortogonalligi to‘g‘risida so‘z boradi. Shuning uchun funksiyalarning ortogonalligi ta’rifini eslatib o‘tamiz: 𝛼̇₀⁽𝑡⁾, 𝛼̇₁⁽𝑡⁾, 𝛼̇₂⁽𝑡⁾, … , 𝛼̇_𝑚⁽𝑡⁾, . .. kompleks funksiyalar [𝑎, 𝑏] intervalda ortogonal hisoblanadi, agar quyidagi shart bajarilsa
∫^{𝑏 𝛼̇𝑚(𝑡)𝛼̇𝑛(𝑡)𝑑𝑡 = 0 agar 𝑚 ≠ 𝑛 va} ∫^{𝑏|𝛼̇𝑚(𝑡)|2𝑑𝑡 ≠ 0. (2.23)}
𝑎 𝑎
Ko‘rib chiqilgan garmonik Furye qatorlari uchun [𝑎, 𝑏] ortogonallik intervali 𝑇/2𝜋/𝜔₁ hisoblanadi, 𝛼̇₀⁽𝑡⁾, 𝛼̇₁⁽𝑡⁾, 𝛼̇₂⁽𝑡⁾, … , 𝛼̇_𝑚⁽𝑡⁾, . .. funksiyalarni esa 𝑒^{±𝑗𝑘𝜔1𝑡} kompleks eksponentalar yoki cos 𝑘𝜔₁𝑡, sin 𝑘𝜔₁𝑡 funksiyalar tashkil etadi (buni (2.23) ifoda orqali bevosita tekshirib ko‘rish mumkin).