Determinantlar va ularning xossalari. Ikkinchi va uchinchi tartibli determinantlar

8 −1

3 5

= 8 ∙ 5 − 3 ∙

= 40 + 3 = 43

2. 
   Uchinchi tartibli determinant. Uchinchi tartibli kvadrat matritsani, ya‟ni 3 × 3 ta sondan iborat ushbu jadvalni qaraymiz:
   

(4)

Bu matritsaning uchinchi tartibli determinant deb quyidagi

^{Δ = 𝑎}11^𝑎22^𝑎33 ^{+ 𝑎}12^𝑎23^𝑎31 ^{+ 𝑎}21^𝑎32^𝑎13 ^−
−𝑎31^𝑎22^𝑎13 ^{− 𝑎}12^𝑎21^𝑎33 ^{− 𝑎}23^𝑎32^𝑎11

songa aytiladi. Uchinchi tartibli determinant bunday belgilanadi _𝑎11 _𝑎12 _𝑎13
^𝑎21 ^𝑎22 ^𝑎23
^𝑎31 ^𝑎32 ^𝑎33
Shunday qilib,
^𝑎11 ^𝑎12 ^𝑎13

^{Δ = 𝑎}21 ^𝑎22 ^𝑎23
^𝑎31 ^𝑎32 ^𝑎33
^{= 𝑎}11^𝑎22^𝑎33 ^{+ 𝑎}12^𝑎23^𝑎31 ⁺

^+𝑎21^𝑎32^𝑎13 ^−𝑎31 ^𝑎22^𝑎13 ^{− 𝑎}12^𝑎21^𝑎33 ^{− 𝑎}23^𝑎32^𝑎11^.
(5)

Uchinchi tartibli determinant uchun satr, ustun, bosh va yordamchi diagonallar tushunchalari ikkinchi tartibli determinantdagi kabi kiritiladi.

2. 
   misol. Ushbu uchinchi tartibli determinantni hisoblang:
   

1 2 3

0 1 −1

2 4 6

−3 ∙ 1 ∙ 2 −

= 1 ∙ 1 ∙ 6 + 2 ∙

2 ∙ 0 ∙ 6 − 4 ∙

∙ 2 + 0 ∙ 4 ∙ 3 −

• 
  1 = 0
  

3. 
   Determinantning xossalari. Bu xossalarni uchinchi tartibli determinant uchun keltiramiz.
   

1. 
   xossa. Determinantning satrlaridagi elementlari va ustunlaridagi elementlari o‟rinlari alamshtirilganda uning qiymati o‟zgarmaydi.
   

^𝑎11 ^𝑎12 ^𝑎13
^𝑎21 ^𝑎22 ^𝑎23
^𝑎31 ^𝑎32 ^𝑎33
^𝑎11 ^𝑎21 ^𝑎31
^{= 𝑎}12 ^𝑎22 ^𝑎32
^𝑎13 ^𝑎23 ^𝑎33

Bu xossani isbotlash uchun yuqoridagi determinantlarga (5) formulani tadbiq etish yetarli.

2. 
   xossa. Agar determinantning ikkita parallel satr (ustun) elementlarining o‟rinlari almashtirilsa, uning ishorasi qarama-qarshi ishoraga almashadi. Masalan
   

^𝑎31 ^𝑎32 ^𝑎33
^𝑎21 ^𝑎22 ^𝑎23
^𝑎11 ^𝑎12 ^𝑎13
^𝑎11 ^𝑎12 ^𝑎13
^{= − 𝑎}21 ^𝑎22 ^𝑎23
^𝑎31 ^𝑎32 ^𝑎33

Bu xossa ham oldingi xossa kabi isbotlanadi.

3. 
   xossa. Agar determinant ikkita bir xil elementli satr (ustun)ga ega bo‟lsa, u nolga teng. Haqiqatan, ikkita parallel bir xil elementli qatorlarning o‟rinlarini almashtirish bilan determinant o‟zgarmaydi, biroq 2- xossaga asosan uning ishorasi o‟zgaradi. Demak, Δ = −Δ,
   

4. 
   

   	2	3	7
   ya‟ni, 2Δ =0 yoki Δ =0. Masalan,	4	5	6	= 0
   	4	5	6

   
   
   
   xossa. Determinant biror satr (ustun)ning barcha elementlarini istalgan λ songa ko‟paytirish determinantni bu songa ko‟paytirishga teng kuchlidir.
   

^λ𝑎11 ^𝑎12 ^𝑎13 ^λ𝑎21 ^𝑎22 ^𝑎23 ^λ𝑎31 ^𝑎32 ^𝑎33
^𝑎11 ^𝑎12 ^𝑎13
^{= λ 𝑎}21 ^𝑎22 ^𝑎23
^𝑎31 ^𝑎32 ^𝑎33

5. 
   xossa. Agar determinant nollardan iborat bo‟lgan satr (ustun)ga ega bo‟lsa, u nolga teng. Bu xossa oldingi xossadan λ = 0 bo‟lganda kelib chiqadi.
   
6. 
   xossa. Agar determinant ikkita parallel proportsional satr (ustun)ga ega bo‟lsa, u nolga teng.
   

7. 
   

   Misol.	3 6	4 8	2 4	= 2 ∙	3 3	4 4	2 2	= 0
   	7	3	5		7	3	5

   
   
   
   xossa. Agar determinant biror satr (ustun)ining har bir elementi ikkita qo‟shiluvchining yig‟indisidan iborat bo‟lsa
   

u holda bu determinant ikki determinant yig‟indisidan iborat bo‟ldi. Masalan,
^𝑎11 ^{+ 𝑏}1 ^𝑎12 ^𝑎13
^𝑎21 ^{+ 𝑏}2 ^𝑎22 ^𝑎23 ^=
𝑎31 ^{+ 𝑏}3 ^𝑎32 ^𝑎33

^𝑎11 ^𝑎12 ^𝑎13
^{= 𝑎}21 ^𝑎22 ^𝑎23
^𝑎31 ^𝑎32 ^𝑎33
^𝑏1 ^𝑎12 ^𝑎13
^{+ 𝑏}2 ^𝑎22 ^𝑎23
^𝑏3 ^𝑎32 ^𝑎33

Bu xossa determinantga (5) formulani qo‟llash bilan tekshiriladi.

8. 
   xossa. Agar biror satr (ustun) elementlariga boshqa parallel satr (ustun)ning elementlarini istalgan umumiy ko‟paytuvchiga ko‟paytirib qo‟shilsa, determinant o‟zgarmaydi. Ya‟ni
   

^𝑎11 ^𝑎12 ^𝑎13
^𝑎21 ^𝑎22 ^𝑎23
^𝑎31 ^𝑎32 ^𝑎33
^𝑎11 ^{+ λ𝑎}12 ^𝑎12 ^𝑎13
^{= 𝑎}21 ^{+ λ𝑎}22 ^𝑎22 ^𝑎23
^𝑎31 ^{+ λ𝑎}32 ^𝑎32 ^𝑎33