Doiraviy orbitalarni kvantlash

Aim.uz

Doiraviy orbitalarni kvantlash

Stasionar holatlar energiyasi kvantlash qoidasi bilan aniqlanadi. Agar elektronlarning doiraviy orbitalari qarab chiqilsa, Borning ikkinchi postulatiga asosan atomda elektronning impuls momenti Plank doimiyligiga karali bo‘lgan shartni qanoatlantiradigan orbitalargina mavjud bo‘la oladi, ya’ni

L  mr  nh(n 1,2,3,...).

(4.25)

Bunda n – butun son bo‘lib, kvant soni deyiladi. (4.25) formula elektronning impuls momenti – L kvantlanganligini, uning faqat 1ħ,2ħ,3ħ,... bo‘lgan diskret qiymatlarnigina qabul qilishi mumkinligini ko‘rsatadi. Bunda ħ impuls momentining birligi qilib qabul qilinadi. (4.25) formula doiraviy orbitalarni kvantlash qoidasidir. Bu qoida yordamida vodorod atomining doiraviy stasionar orbitalar o‘lchamlarini va ularga tegishli energiyalarni hisoblash mumkin. Yadro massasi elektron massasidan 2000 marta katta bo‘lganligi uchun yadro qo‘zg‘almas deb qaraladi. Elektron esa yadro atrofida radiusi r bo‘lgan aylana bo‘ylab harakatlanadi.

Yadro koordinatalar tizimi boshiga joylashtirilgan bo‘lsin. Yadrodan cheksiz uzoqdagi masofada elektronning potensial energiyasi nolga teng deb hisoblanadi. Bu vaqtda zaryadi +Ze

96

bo‘lgan yadrodan r masofadagi elektronning to‘liq energiyasi quyidagicha ifodalanadi:

Е= En+ EkyokiЕ= -

Ze^2

+

m^2

.

(4.26)

40r

2

Bu formulada Еn

= -

Ze^2

– elektronning

yadro

bilan

o‘zaro

40r

Еk=

m^2

tortishuv potensial

energiyasi,

–

elektronning

kinetik

2

energiyasi, m – elektronning massasi,  – uning tezligi, e – elektronning zaryadi, ₀ – vakuum uchun dielektrik doimiylik.

Elektron yadro atrofida aylanma orbitada harakatlanadi deb hisoblanadi. U holda yadro elektr maydonidagi elektronga ta’sir etadigan Kulon tortishish kuchi markazga intilma kuchga teng bo‘ladi, ya’ni

Ze^2			=		m^2	,		(4.27)
4	0^r	2

(4.27)dan m² qiymatini topib (4.26) ifodaga qo‘yilganda, elektronning to‘liq energiyasi quyidagicha ifodalanadi:

orbita bo‘ylab harakat kilayotgan elektronning to‘liq energiyasini aniqlash mumkin, ya’ni:

Е = -	Z ^2e^4m			×	1		.	(4.31)
	2	2	2		n	2
	32	0 ^h

Bu formula vodorod atomida elektronning stasionar holatlarining energiya sathini ifodalaydi. (4.31) formuladan ko‘rinadiki, elektronning to‘liq energiyasi n kvant soniga bog‘liq. n – elektron orbitalari tartib raqamini bildiradi va n=1,2,3,... qiymatlarni qabul qiladi. (4.31) formula atom chiqaradigan yoki yutadigan energiyasini ifodalaydi va uning kvantlanganligini ko‘rsatadi. n=1,2,3,...

bo‘lgandagi energiyaning mumkin bo‘lgan qiymatlari (4.31) formula orqali hisoblanadi. n da energetik sathlar o‘zining E_=0 bo‘lgan chegaraviy qiymatiga tomon zichlashadi. Atomning n=1 bo‘lgan eng kichik energiyali holati uning asosiy holati deyiladi. Atom asosiy holatda uzoq vaqt bo‘lishi mumkin. Atomning n=2,3,4,... bo‘lgan holatlari (n>1) uning uyg‘ongan holatlari deyiladi. Bu holatlarning har birida atomning energiyasi uning asosiy holati energiyasidan katta bo‘ladi. (4.31) formuladagi manfiy ishora atom tizimining bog‘langanligini va energiyaning kvantlanganligini ko‘rsatadi.

(4.31) formulaga elektron massasi va zaryadi son qiymatlarini (m=9,11∙10^–31kg, e=1,6∙10^–19Kl) qo‘yib hisoblanganda:

_{Е= -} Ze²_,

8₀r

(4.28) ifodaning har ikkala tomonlarini mr³ quyidagini hosil qilamiz:

(4.28)

ga ko‘paytirib

Еn= -13.6 / n^2eV , n =1,2,3,...

(4.31a)

formula hosil bo‘ladi. (4.31a) formula orqali n ning turli qiymatlariga to‘g‘ri keladigan energiya hisoblanganda energiyaning quyidagi qiymatlari hosil bo‘ladi:

Ze^2 mr	2	2		2
	= m		r		.	(4.29)
40

Bu formulada o‘ng tomondagi ifoda impuls momenti kvadratidir. Shuning uchun Borning birinchi postulati (4.25) ifodaga asosan (4.29)ni quyidagicha yozish mumkin:

n^2h^2=	Ze^2 mr	,	(4.30)
	40

(4.28) va (4.30) tenglamalarining tegishli o‘ng va chap tomonlarini ko‘paytirib, zaryadi +Ze bo‘lgan yadro atrofida doiraviy
97


n=1 E₁=–13,55 eV n=2 E₂=–3,38 eV n=3 E₃=–1,5 eV n=4 E₄=–0,84 eV n=5 E₅=–0,54 eV n=6 E₆=–0,38 eV

Hisoblangan energiya qiymatlaridan ko‘rinadiki, orbita radiusi ortishi bilan elektronning manfiy qiymatli energiyasi kamayib boradi. E0 da energetik sathlar zichlashib boradi. E>0 da elektron erkinbo‘ladi va energetik sathlar kvantlanmaydi, uzluksiz spektr hosil bo‘ladi.

98

Shunday qilib, elekton energetik sathlari energiyasi kvantlangan bo‘lib, (4.31) yoki (4.31a) formulalar bilan aniqlanadigan diskret qiymatlarga ega bo‘ladi. Endi Borning uchinchi postulatidan foydalanamiz. Elektron n_i stasionar orbitadan n_f stasionar orbitaga o‘tganda, atom yorug‘lik kvanti chiqaradi. Uning energiyasi quyidagicha aniqlanadi:

h= Ei- E f,

(4.32)

energiya uchun yozilgan (4.31) formulaga asosan (4.32) formulani quyidagi ko‘rinishda yozish mumkin:

Z ^2e^4 m

æ

1

1

ö

h= E

- E

=

ç

-

÷ .

(4.33)

32^2

2h2

n^2

i

f

ç n^2

÷

0

è

f

i

ø

n_iva n_flar yuqori E_iva pastki E_fenergetik sathlarga tegishli bo‘lgankvant sonlardir. (4.33) formula vodorod atomining spektrini tahlil qilish asosida hosil qilingan. (4.33) formuladan atom chiqaradigan energiya chastotasini hisoblash formulasini hosil qilish mumkin, ya’ni:

с

Z ^2e^4m

æ

1

1

ö

ç

÷

 = 

^= 32^2

0

h^2h ç n^2

^-n2 ÷

è

f

i

ø

Bunda h=₂^h_ ; hh2 va =_^c ekanligi hisobga olinganda,

atom chiqaradigan foton energiyasining to‘lqin uzunligini aniqlash mumkin bo‘lgan formula hosil bo‘ladi, ya’ni

1

Z ^2e^4m

æ

1

1

ö

ç

÷



^= 64^3

2h3

с ç n^2

^-n2

÷

(4.34)

0

è