Ehtimollikninggeometrikta‘rifi Biror G soha berilgan bo`lib, bu soha G1 sohani o`z ishiga olsin, . G sohaga tavakkaliga (tasodifan) tashlangan nuqtaning G1 sohaga ham tushishi ehtimolini topish talab etilsin. Bu yerda Ω elementar hodisalar fazosi G ning barcha nuqtalaridan iborat va kontinium quvvatga ega. Binobarin, bu holda klassik ta’rifdan foydalana olmaymiz. Tashlangan nuqta G ga albatta tushsin va uning biror G1 qismiga tushish ehtimoli shu G1 qismining o`lchoviga (uzunligiga, yuziga, hajmiga 0 proporsional bo`lib, G1 ni G ning qayerida joylashganiga bog`liq bo`lmasin. Bu shartlarda qaralayotgan hodisaning ehtimoli bu yerda mes inglizcha so`zidan olingan bo`lib, o`lchov ya’ni uzunlik, yuza, hajm ma’nosini bildiradi.
formula yordamida aniqlanadi. Bu formula yordamida aniqlanadi. Bu formula yordamida aniqlangan P funksiya ehtimolining barcha xossalarini qanoatlantirishini ko`rish qiyin emas.
Misol. L uzunlikka ega bo`lgan kesmaga tavakkaliga nuqta tashlansin. Tashlangan nuqta kesmaning o`ratasidan ko`pi bilan l masofada yotish ehtimolini toping.
Yechish. Yuqoridagi shartni qanoatlantiradigan nuqtalar to`plami dan iborat (umimiylikka zarar yetkazmasdan, kesmaning o`rtasini sanoq boshi deb qabul qilamiz). Bu kesmaning uzunligi 2l ga teng. Demak, qaralayotgan hodisaning ehtimoli
Tasodifiy hodisa (ehtimollar nazariyasida) — maʼlum shartlar bajarilganda roʻy berishi ham, bermasligi ham mumkin boʻlgan yoki berishi aniq ehtimollikka ega boʻlgan hodisa. Agar koʻp tajribalar oʻtkazilganda Tasodifiy hodisaning roʻy berish chastotasi biror r soniga yaqinlashsa, mana shu son Tasodifiy hodisaning ehtimolidan iborat boʻladi. Masalan, yangi tugilgan bolaning oʻgʻil boʻlish ehtimoli koʻproq (0,515) ligi koʻplab kuzatishlar asosida hisoblangan. Tasodifiy hodisa tushunchasi ehtimollar nazariyasining asosiy tushunchasi bo`lib, u orqali boshqa ko’pgina etimoliy tushunchalarga ta’riflar beriladi. Bu tushunchaning shakllanish tarixiy jarayonini, uning qanday ehtiyojlarga ko`ra rivojlanib, bugungi holatga kelganligini bilish, o`quvchilarning ehtimollar nazariyasi elementlarini o`rganishga bo`lgan qiziqishini oshiradi.
Ehtimollar nazariyasi tasodifiylikning qonuniyatlarini o’rganadigan matematikaviy fan bo’lib, natijalari oldindan aytib berish mumkin bo’lmagan tajribalarning modulini o’rganadi. Tasodifiy hodisa tushunchasi orqali boshqa ko’pgina ehtimoliy tushunchalarga ta’rif beriladi. Shu ma’noda bu tushunchaning shakllanishini o’rganish muhim ahamiyat kasb etadi. Uzoq davrlar davomida olimlar turli ko’rinishdagi o’yinlarni qarash bilan cheklanganlar. Jumladan soqqadagi o’yinlar,chunki bu o’yinlarni o’rganish oddiy va yorqin matematik modular bilan chegaralanish imkoniyatini bergan
Ma`lumki, ehtimollar nazariyasida taqsimot funksiyani bilish shu taqsimot funksiyasiga ega bo`lgan t.m. haqida to`liq ma`lumotga ega bo`lishni anglatadi. Ammo juda ko`p amaliy masalalarni hal qilishda t.m.ni to`liq bilish shart bo`lmay, balki uning ayrim sonli xarakteristikalarini bilish kifoya bo`ladi. T.m.ning asosiy sonli xarakteristikalari bu-matematik kutilma va dispersiyalardir. Matematik kutilma t.m.ning qiymatlari zich joylashadigan o`rta qiymatni anglatsa, dispersiya esa t.m. qiymatlarini shu o`rta qiymat atrofida qanchalik tarqoqligini bildiradi. Shunga o`xshash sonli xarakteristikalarni statistik taqsimot funksiyasiga nisbatan ham kiritish mumkin. Matematik kutilmaning statistik o`xshashi empirik o`rta qiymat yoki tanlanma o`rta qiymatidan iborat bo`ladi va u (6.3.1) amaliy qiymat yordamida quyidagicha aniqlanadi
Tasodifiy hodisalar, ularning klassifikatsiyasi
Dastlab ehtimollar nazariyasining asosiy tushunchalaridan biri “tasodifiy
hodisa” tushunchasini keltiramiz. Natijasini oldindan aytib bo‟lmaydigan tajriba o‟tkazilayotgan bo‟lsin. Bunday tajribalar ehtimollar nazariyasida tasodifiy deb ataladi. Tasodifiy hodisa (yoki hodisa) deb, tasodifiy tajriba natijasida ro‟y berishi oldindan aniq bo‟lmagan hodisaga aytiladi.Hodisalar, odatda, lotin alifbosining bosh harflari A, B, C, …lar bilan belgilanadi. Tajribaning har qanday natijasi elementar hodisa deyiladi va
ꙍ orqali belgilanadi. Tajriba natijasida ro‟y berishi mumkin bo‟lgan barcha elementar hodisalar to‟plami elementar hodisalar fazosi deyiladi va Ώ orqali belgilanadi.
Ehtimollikning Statistic tarifi
Amalda, ko'pincha hodisalarning ehtimolini baholashda, ular o'tkazilgan testlarda berilgan hodisaning qanchalik tez-tez sodir bo'lishiga asoslanadi. Bunday holda, ehtimollikning statistik ta'rifi qo'llaniladi, Statistik ehtimollik formulasi hodisaning ehtimolini eksperimental ravishda aniqlash uchun ishlatiladi, ya'ni. sinovlar haqiqatda o'tkazilgan deb taxmin qilinadi.Statistik ehtimol tasodifiy hodisaning nisbiy chastotasiga taxminan teng, shuning uchun amalda nisbiy chastota statistik ehtimollik sifatida qabul qilinadi, chunki statistik ehtimollikni topish deyarli mumkin emas. Tangani n marta tashladik deb faraz qilaylik va birinchi n ta tajribada “gerb” tushishlar sonini nr deb belgilaylik. Quyidagi shaklni yasaymiz: abssissa o’qida o’tkazilgan tajribalar sonini, ordinatalar o’qida esa nisbatni belgilab boramiz. n ning ortib borishi bilan nuqtalarni tutashtiruvchi siniq chiziq chiziqqa yaqinlashadi. u holatni tekshirish maqsadida Byuffon tangani 4040 marta tashladi, shulardan 2048 marta gerb tushdi, chunonchi gerb tushish chastotasi Pirson tangani 24000 marta tashlaganda, shulardan 12012 tasida gerb tushdi, . Bu hol umumiy xarakterga ega: bir xil sharoitda o’tkazilgan tajribalar ketma-ketligida u yoki bu hodisani ro’y berishi chastotasi biror soniga “yaqinlashib” boradi.Bu tajribalarda G tushish chastotasi o’zgarmas son atrofida tebranyapti, shu ni simmetrik tanga tashlaganda G (gerb) tushishi hodisasining ro’y berish ehtimoli deb olish tabiiy. Agar tajribalar soni yeterlicha ko’p bo’lsa, u holda shu tajribalarda qaralayotgan A hodisaning ro’y berish chastotasi biror o’zgarmas son atrofida turg’un ravishda tebransa, shu p sonni A hodisanaing ro’y berish ehtimoli deb qabul qilamiz. Bunday usulda aniqlangan ehtimol hodisaning statistik ehtimoli deyiladi.
Ehtimollar nazariyasini aksiomatik qurishda A.N. Kolmogorov tomonidan 30-yillarning boshlarida asos solingan. Q - biror tajribaning barcha elementar hodisalar to ‘plami, S-hodisalar algebrasi bo‘lsin. S S hodisalar algebrasida aniqlangan, haqiqiy qiymatlar qabul qiluvchi P(A) fuksiya ehtimollik deyiladi, agar u uchun quyidagi aksiomalar o ‘rinli bo‘lsa: A1: ihtiyoriy A e S hodisaning ehtimolligi manfiy emas P(A) > 0 (nomanfiylik aksiomasi); A2: muqarrar hodisaning ehtimolligi birga teng P(Q) = 1 (normallashtirish aksiomasi); A3: juft-jufti bilan birgalikda bo‘lmagan hodisalar y ig ‘indisining ehtimolligi shu hodisalar ehtimollari y ig ‘indisiga teng, y a’ni agar At • Aj = 0 , i ф j bo‘lsa, u holda P(U A,-) = I P( A ,) k k (additivlik aksiomasi); (Q, S , P) uchlik ehtimollik fazosi deyiladi, bu yerda Q-elementar hodisalar fazosi, S-hodisalar algebrasi, P- A1-A3 aksiomalarni qanoatlantiruvchi sanoqli funksiya.
Ehtimollar nazariyasining muhim tushunchalaridan biri tasodifiy miqdortushunchasidir.Ta’rif.Tajriba natijasida u yoki bu qiymatni qabul qilishi oldindan ma’lumbo’lmagan miqdor tasodifiy miqdordeyiladi.Tasodifiy miqdorlar lotin alifbosining bosh harflari ,,,...XYZ(yoki grekalifbosining kichik harflari (ksi), (eta), (dzeta),…) bilan, qabul qiladiganqiymatlari esa kichik harflar 121212,,...,,,...,,,...xxyyzzbilan belgilanadi. Amaliyotda asosan 2 xildagi tasodifiy miqdorlar bilan ish ko’riladi:Dikret vauzluksiz.Tasodifiy miqdorlarga misollar keltiramiz: 1) Xtavakkaliga olingan mahsulotlarichida sifatsizlari soni; 2) Ynta o’q uzilganda nishonga tekkanlari soni; 3) Zasbobning beto’xtov ishlash vaqti; 4) U0, 1kesmadan tavakkaliga tanlangannuqtaning koordinatalari; 5) Vbir kunda tug’iladigan chaqaloqlar soni va h.k.Ta’rif. Agar tasodifiy miqdor chekli yoki sanoqli sondagi qiymatlar qabul qilsa,bunday tasodifiy miqdor diskret tasodifiy miqdordeyiladi.
