Ehtimollik nazariyasi va matematik statistika fanidan

1.2. Ehtimollar nazariyasiniaksiomatik asosda qurish

Sovet matematigi S.N.Brenshteyn 1917 yilda birinchi bo’lib ehtimollar nazariyasini aksiomatik asosda qurishga harakat qildi. Akademik A. N.Kolmogorov tomonidan kiritilgan ehtimollar nazariyasining aksiomalari funksiyalarning metrik nazariyasiga asoslangandir. Ω-biror to’plam, F–uning qism to’plamlarining biror sistemasi bo’lsin. Agar

F;

A_i F;i= 1, 2,…, n dan F kelib chiqsa,

A F dan F kelib chiqsa, F sistema algebra tashkil etadi deyiladi. Odatda, Ω-elemntar hodisalar fazosi, -fazoning elementlari, nuqtalari elementar hodisalar, F ning elementlari esa hodisalarning -algebrasi deyiladi.

1.2.1-Ta’rif. Agar Ω to’plam va bu to’plamning qism to’plamlaridan iborat F -algebra berilgan bo’lsa, u holda o’lchovli fazo berilgan deyiladi va uni<Ω,F> kabi belgilanadi.

-algebraning ta’rifidan foydalanib, F ekanligi kelib chiqadi.

Ω-muqarrar hodisa, esa mumkin bo’lmagan hodisa deyiladi.

Endi quyida A. N. Kolmogorov aksiomalarini keltiramiz:

1–aksioma. Ixtiyoriy A F hodisaga uning ehtimoli deb ataluvchi P(A)≥0 son mos qo’yilsin.

2–aksioma. P(Ω)=1.

3–aksioma. Qo’shish aksiomasi. Agar {A_n} hodisalar chekli ketma–ketligi juft–jufti bilan birgalikda bo’lmasa, u holda

Ehtimollar nazariyasining ko’pgina masalalarini hal qilishda 3–aksioma o’rniga undan kuchliroq bo’lgan aksiomaga zarurat tug’iladi.

3^I–aksioma. Qo’shishning kengaytirilgan aksiomasi. Agar {A_n} hodisalar chekli ketma–ketligi juft–jufti bilan birgalikda bo’lmasa, u holda

Ehtimolning bu aksioma bilan berilgan xossasi uning sanoqli additivligi deyiladi.

3^I–aksiomani unga ekvivalent quyidagi uzluksizlik aksiomasi bilan almashtirish mumkin.

3^II–aksioma. Uzluksizlik aksiomasi. Agar F –algebraga tegishli bo’lgan B₁,B₂, …,B_n,… tasodifiy hodisalar uchun B₁ B₂ … B_n … bajarilsa va o’rinli bo’lsa, u holda bo’ladi.

3^I–aksioma va 3^II–aksiomaning teng kuchli ekanligini ko’rsatamiz.

3^I–aksiomadan 3^II–aksiomaning kelib chiqishini ko’rsatamiz. Faraz qilaylik, B₁,B₂,…,B_n,… tasodifiy hodisalar uchun B₁ B₂ … B_n … bo’lsin va bajarilgan bo’lsin, u holda B_n hodisa uchun

bajariladi.

Bu qo’shiluvchilar juft–jufti bilan birgalikda bo’lmagan uchun 3^I–aksioma va P( )=0 ga ko’ra

ya’ni P(B_n) yaqinlashuvchi qator ning qoldiq hadidir, demak, da

3^II–aksiomadan chekli additivlik bajarilganda 3^I–aksiomaning kelib chiqishini ko’rsatamiz. Faraz qilaylik, A₁, A₂,…, A_n,… juft–jufti bilan birgalikda bo’lmagan hodisalar bo’lib, bo’lsin, u holda Agar B_n ro’y bersa, A_i (i ≥ n) lardan birortasi ro’y beradi. A_k lar juft–jufti bilan birgalikda bo’lmagani uchun A_i+1, A_i+2, … ro’y bermaydi. Demak, B_i+1,B_i+2,…… lar ro’y berishi mumkin bo’lmagan hodisalar bo’ladi, bu esa ning mumkin bo’lmagan hodisa ekanini ko’rsatadi, u holda 3^II–aksiomaga ko’ra da , ammo ligidan



<Ω,F,P> uchlik ehtimollik fazosi deyiladi. Shunday qilib, ehtimollik fazosi <Ω,F,P> o’lchovli fazo va F da berilgan manfiy bo’lmagan, normallashtirilgan, sanoqli additiv P o’lchovdan iborat bo’lar ekan, P o’lchov ehtimolning o’lchovi deyiladi.

Odatda, aksiomalar sistemasiga quyidagi talablarni qo’yishadi:

Aksiomalar sistemasining o’zaro zid emasligi.

Aksiomalar sistemasining o’zaro bog’liq emasligi.

Aksiomalar sistemasining to’laligi.

Ehtimollar nazariyasining aksiomalar sistemalari o’zaro zid emas, chunki berilgan aksiomalarni qanoatlantiradigan real obyektlar mavjud.

Misol. Elementar hodisalar fazosi

bo’lsin. Har bir elementar hodisaga sonni mos qo’yamiz, U holda lar teng ehtimolli hodisalar bo’ladi. Ω yordamida

F={Ω, V, { },…, { },…} algebrani tuzamiz, bu sistema 2ⁿ ta elementdan iborat bo’ladi. F ga tegishli har bir A hodisa ushbu ko’rinishda yoziladi:

A hodisaning ehtimoli deb quyidagi yig’indini olamiz:

Agar I to’plamning quvvati k bo’lsa,

bo’ladi. F algebrada aniqlangan bu P(A) funksiya barcha aksiomalarni qanoatlantirishini tekshiramiz:

Darhaqiqat, misolimizda

bo’lgani uchun dir;

Haqiqatan ham, ligidan

kelib chiqadi;

bo’lsa,

Agar shartlar bajarilsa, . Faraz qilaylik, I₁ ning quvvati k₁, I₂ ning quvvati k₂ bo’lsin, u holda

va

bo’ladi. Demak, Kolmogorov aksiomalari sistemasi zid emas ekan.

Ehtimollar nazariyasining aksiomalari sistemasi to’la emas, ya’ni tayin bir Ω uchun –algebra F da ehtimollik o’lchovi P ni turlicha usulda aniqlash mumkin. Agar tajribamiz shashqaltosh tashlashdan iborat bo’lsa, u holda {e_i}, i=1;2;3;4;5;6 hodisalarning ehtimolini shashqaltoshning qandayligiga qarab

yoki, masalan,

;

deb qabul qilish mumkin. Bu aksiomalar sistemasini to’la emasligi uning kamchiligi emas.

Ehtimolning xossalari

P(V)= 0.

Bu natija V Ω=Ω tenglikdan va 2,3–aksiomalardan kelib chiqadi.

P( )=1–P(A).

Bu xossa va dan kelib chiqadi.

Agar bo’lsa, u holdaP(A)≤P(B). dan bu munosabat kelib chiqadi.

.

Bu xossaning isboti 3–xossadan va 1,2–aksiomalardan kelib chiqadi.

, chunki, .

Bu xossaning isboti 5–xossadan kelib chiqadi.

Faraz qilaylik, hodisalar berilgan bo’lsin, u holda

Bu munosabat Bul formulasi deyiladi.

Haqiqatan ham, deb belgilasak, u holda

tenglik o’rinli. Demak,

Misol. O’rniga qo’yishlar haqidagi masala. nta element berilgan bo’lsin. Tasodifiy ravishda bu elementlar ikki marta o’rinlashtiriladi. Hech bo’lmaganda bitta o’rnida qolish ehtimoli topilsin. Hamma o’rin almashtirishlar soni . Aytaylik, hodisa k–elementning o’z o’rnida qolishi bo’lsin. Bu hodisa imkoniyatga ega. ning ehtimoli esa

hodisa k va l elementlarning o’z o’rnida qolish hodisasidan iborat bo’lsin:

va hokazo

hodisa hech bo’lmaganda bitta elementning o’z o’rnida qolish hodisasidir. Shunday qilib, Bul formulasidan foydalansak,

Qavs ichidagi ifoda ning yoyilmasidagi birinchi ta haddan iborat. Shuning uchun, da