Ehtimollik nazariyasi va matematik statistika fanidan

1.3. Shartli ehtimillar. Hodisalarning bog’liqsizligi.

To’la ehtimol formulasi

Hodisaning ehtimolini aniqlash asosida S shartlar kompleksi yotishini aytgan edik. Agar P(A) ehtimolni hisoblashda S shartlar kompleksidan boshqa hech qanday shartlar talab qilinmasa, bunday ehtimol shartsiz ehtimol deyilladi. Ko’p hollarda A hodisaning ehtimolini biror B hodisa (P(B)>0 deb faraz qilinadi) ro’y bergandan so’ng hisoblashga to’g’ri keladi. Bunday ehtimol shartli ehtimol deyiladi va P(A/B) kabi belglanadi.

Misol. Ikkita shashqltosh tashlanayotgan bo’lsin. Elementar hodisalar fazosi

bo’ladi. Shashqaltosh tashlanganda uning yuqori yoqlaridagi raqamlar yig’indisi 8 ga teng bo’lish hodisasini A orqali, raqamlar yig’indisining juft son bo’lish hodisasini B orqali belgilaylik. U holda , bo’ladi.

Endi B hodisa ro’y berganda A hodisaning ehtimolini topaylik:

Misol. Elementar hodisalar fazosi Ω lardan tuzilgan bo’lsin. Shu elementar hodisalarning k tasi A hodisaga,m tasi B hodsaga va r tasi AB hodisaga qulaylik tug’dirsin. Klassik ta’rifga ko’ra quyidagilar o’rinli bo’ladi:

Umumiy holda shartli ehtimol ta’rifi quyidagicha kiritiladi.

1.3.1-Ta’rif. (Ω,F,P) ehtimollik fazosi berilgan bo’lib, A,B F va P(B)>0 bo’lsin. U holda A hodisaning B shartdagi ehtimoli deb, ushbu formula bilan aniqlanadigan ehtimolga aytiladi:

Shartli ehtimolning xossalari

Isboti.

bo’lsa, u holda tenglik o’rinli bo’ladi.

Isboti.

Chunki, munosabatdan munosabat kelib chiqadi.

Agar va hodisalar o’zaro qarama-qarshi hodisalar bo’lsa, u holda

tenglik o’rinli bo’ladi.

Isboti. Ta’rifga asosan,

Shartga asosan bo’lgani uchun 2-xossaga asosan bo’ladi. Hosil bo’lgan tengliklardan xossaning isboti kelib chiqadi.

Ehtiomolning boshqa hossalari ham shartli ehtimol uchun bajarilishini ko’rish uchun qiyin emas. Agar P(A)>0 bolsa, B hodisaning A shartdagi ehtimoli

formula yordamida topiladi.

Shartli ehtimolni topish formulasidan hodisalarning ko’paytmasi ehtimolini topish uchun ushbu formulani keltirib chiqarish mumkin:

1.3.2-Ta’rif. Agar tenglik bajarilsa, A hodisa B hodisaga bog’liq emas deyiladi.

Agar A hodisa B hoisaga bog’liq bo’lmasa, B hodisa A hodisaga, hodisa B hodisaga, hodisa A hodisaga, hodisa hodisaga bog’liq bo’lmaydi. Bulardan A hodisa B hodisaga bog’liq bo’lmaganda B hodisa ham A ga bog’liq bo’lmasligini isbotlaylik, boshqalari ham shu kabi isbotlanadi. Haqiqatan ham, A hodisa B hodisaga bog’liq bo’lmagani uchun 2-ta’rifga asosan bo’ladi. Agar (1.3.1) munosabatda bu tenglikdan foydalansak,

munosabat kelib chiqadi. Shuningdek, agar A hodisa va hodisaga bog’liq bo’lmaydi.

Isboti.

1.3.3-Ta’rif. hodisalar berilgan bo’lsin. sonlarni olamiz. Agar

tenglik o’rinli bo’lsa, u holda . hodisalar birgalikda bog’liq emas deyiladi.

Shuni eslatib o’tish kerakki, hodisalarning juft-jufti bilan bog’liq emasligidan birgalikda bog’liq emasligi kelib chiqmaydi.

Misol. (B.V.Gnedenko, [3].) Tajriba tekislikka tetraedrni tashlashdan iborat bo’lsin. Tetraedrning birinchi tomoni ko’k, ikkinchi tomoni yashil, uchinchi tomoni qizil, to’rtinchi tomoni esa shu uchchala rangda bo’lsin. Bu hodisalarni mos ravishda K, Ya, Q va KYaQ bilan belgilaymiz, u holda bo’ladi. Xuddi shuningdek,

tengliklarga ishonch hosil qilish qiyin emas, shunday qilib K, Ya, Q hodisalar juft-jufti bilan bog' liq emas ekan. Ammo hodisaning ro’y bergani aniq bo’lsa, u holda albatta Ya hodisa ham ro’y bergan bo’ladi, . Demak, K, Ya, Q hodisalar birgalikda bog’liq ekan.

Masala. Ehtiyot qismlarni sarflash vedomostlarini kuzatish avtomabil dvigatelini remont qilishda №1 detal o’rtacha 36% hollarda, №2 detal esa 42% hollarda, har ikkala detal bir vaqtda o’rtacha 30% hollarda almashtirilgani aniqlandi. Bu ma’lumotlarga asoslanib, №1 detalning almashtirilishi va №2 detalning almashtirilishi o’rtasida statistik bog’lanish bor deb xulosa qilish mumkinmi? Dvigatelni remont qilish paytida №1 detal almashtirilgan bo’lsa, №2 detalning ham almashtirilgan bo’lish ehtimolini toping.

Yechish.

№1 detalning almashtirilishi A hodisa,

№2 detalning almashtirilishi B hodisa,

№1 va №2 detallarning almashtirilishini AB hodisa desak, u holda

Ushbu masaladagi A va B hodisalar o’zaro bog’liq, chunki tenglik bajarilmaydi, ya’ni

Endi masalaning ikkinchi qismini hal etamiz:

Masala. Student imtihonga programmadagi 25 ta savoldan 20 tasini bilib keldi. Imtihon oluvchi o’qituvchi studentga 3 ta savol berdi. Studentning uchala savolni ham bilish ehtimolini toping.

Yechish.

Studentning 1–savolga javob bera olish hodisasini , 2–va 3–savollarga javob bera olish hodisalarini mos ravishda va , uchala savolga ham javob bera olish hodisasini esa A deb belgilaymiz. U holda

tengliklar o’rinli bo’ladi. Agar ekanini e’tiborga olsak, izlanayotgan hodisaning ehtimoli quyidagicha bo’ladi:

To’la ehtimol formulasi

Faraz qilaylik, B hodisa n ta juft-jufti bilan birgalikda bo’lmagan hodisalarning (gipotezalarning) bittasi va faqat bittasi bilangina ro’y berishi mumkin bo’lsin, boshqacha qilib aytganda,

Bu yerda u holda qo’shish teoremasiga asosan

Agar ligini e’tiborga olsak, u holda

Bu tenglik to’la ehtimol formulasi deyiladi.

Masala. Tarkibi quyidagicha bo’lgan beshta yashik bor. Ikkita ( tarkibli) yashikda 2 tadan oq, 1 tadan qora shar bor, bitta ( tarkibli) yashikda 10 ta qora shar, ikkita ( tarkibli) 3 tadan oq, 1 tadan qora shar bor. Tavakkaliga tanlangan yashikdan tavakkaliga olingan sharning oq shar (B hodisa) bo’lishi ehtimolini toping.

Yechish. Yashikdan olingan shar yo ,yo yoki tarkibli yashikdan olingan bo’lishi mumkin, u holda . To’la ehtimol formulasiga muvofiq:

Klassik ta’rifga va shartli ehtimol ta’rifiga asosan quyidagi larni topamiz:

Topilganlarni yuqoridagi formulaga qo’ysak,

hosil bo’ladi.

Masala. Omborga 360 ta mahsulot keltirildi. Bulardan 300 tasi 1-korxonada tayyorlangan bo’lib, 250 tasi yaroqli mahsulot; 40 tasi 2-korxonada tayyorlangan bo’lib, ularning 30 tasi yaroqli hamda 3-korxonada tayyorlangan mahsulot 20 ta bo’lib, ulardan 10 tasida yaroqli. Tavakkaliga olingan mahsuloning yaroqli bo’lish ehtimlini toping. Klassik ta’rifga ko’ra

Ammo yuqoridagi formulani e’tiborga, quyidagicha yechish mumkin.

Yechish. Tavakkaliga olingan mahsulot uchun quyidagi gipotezalar o’rinli bo’ladi:

H₁ gipoteza-mahsulotning 1-korxonada tayyorlangan bo’lishi;

H₂ gipoteza-mahsulotning 2-korxonada tayyorlangan bo’lishi;

H₃ gipoteza-mahsulotning 3-korxonada tayyorlangan bo’lishi;

Ularning ehtimollari quyidagicha bo’ladi:

Agar olingan mahsulotning yaroqli bo’lishini A hodisa deb olsak, u holda bu hodisalarning turli gipotezalardagi ehtimollari quyidagicha bo’ladi:

Yuqoridagilarga asoslanib, A hodisaning ehtimolini topamiz: