Elektr va magnetizm

III.3: Elektr maydonida o‘tkazgichlar

O‘tkazgichlarda zaryadli zarralar bo‘lib, ular elektr maydoni ta’siri ostida o‘tkazgich ichida siljiy oladi.

O‘tkazgichda erkin zaryadlar boriligi tufayli o‘tkazgich ichida elektrostatik maydon bo‘lmaydi.
Zaryadlar muvozanatda bo‘lganda o‘tkazgich ichida faqat maydonning kuchlanganligigina emas, balki zaryad ham nolga teng. O‘tkazgichning butun statik zaryadi uning sirtiga to‘planadi. Darhaqiqat, agar o‘tkazgichning ichida zaryad bo‘lsa edi, o‘ holda zaryad yaqinida maydon ham bo‘lar edi. Biroq o‘tkazgich ichida elektrostatik maydon yo‘q. Binobarin, o‘tkazgichda zaryadlar faqat uning sirtiga joylashishi mumkin.
Bu xulosa elektr maydonidagi zaryadsiz o‘tkazgichlarga ham, zaryadlangan o‘tkazgichlarga ham tegishlidir.
O‘tkazgichlardagi zaryad tashuvchilar juda kichik kuch ta’siri ostida harakat qila oladi. Shuning uchun zaryadlarning muvozanati quyidagi shartlar bajarilgan holdagina kuzatiladi:
1. O‘tkazgich ichidagi barcha nuqtalarda maydon kuchlanganligi nolga teng bo‘lishi zarur.
(1)
ya’ni, o‘tkazgich ichidagi potensial o‘zgarmas bo‘lishi kerak ( ).
2. Maydon kuchlanganligining o‘tkazgich sirti har bir nuqtasidagi yo‘nalishi sirtga o‘tkazilgan normalga mos bo‘lishi kerak,
(2)
Demak, zaryadlar muvozanatda bo‘lganda o‘tkazgichning sirti ekvipotensial bo‘ladi.
Agar o‘tkazuvchi jismga ma’lum zaryad berilsa, bu zaryad jism bo‘ylab muvozanat sharti saqlanadigan holda taqsimlanadi. Jism hajmiga to‘liq joylash-gan ixtiyoriy yopiq sirtni tasavvur qilaylik. Zaryadlar muvozanatida jism ichidagi har bir nuqtada maydon yo‘q bo‘lganligi uchun sirt orqali o‘tayotgan elektr siljish va vektorining oqimi nolga teng. Ostrogradskiy-Gauss teoremasiga muvofiq sirt ichidagi zaryadlarning algebraik yig‘indisi ham nolga teng bo‘ladi, ya’ni:
(3)
Z aryadlangan o‘tkazgich sirti yaqinidagi maydon kuchlanganligini aniqlaymiz. Buning uchun o‘tkazgich sirtiga o‘tkazilgan ga teng bo‘lgan kichik silindrsimon sirtni ko‘raylik. Bu silindirsimon sirt asoslaridan biri o‘tkazgichning ichida, ikkinchisi esa tashqarisida joylashgan bo‘lsa (1-rasm)






1-rasm
kichik bo‘lgani uchun hisoblash mumkin. O‘tkazgichning sirtida va sirtni yaqiniga va vektorlar sirtga perpendikulyar yo‘nalganlar. Shuning uchun silindrsimon sirtning yondagi sirti orqali elektr siljish vektorining oqimi nolga teng, chunki bu qism o‘tkazgichning ichida yotgan bo‘lib, uning hamma nuqtalarida . O‘tkazgichning tashqarisida unga yaqin joyda maydon kuchlanganligi ning yo‘nalishi o‘tkazgich sirtiga o‘tkazilgan normal bilan mos tushadi. Demak, silindrning tashqariga chiqib turgan yon sirti uchun tashqi asos uchun esa Butun yopiq silindrik sirt orqali elektr siljishini oqimi faqat tashqi asos orqali oqimga teng, ya’ni:

(4)

Ostrogradskiy-Gauss teoremasi asosida bunday oqim sirtni o‘rab oladigan zaryadlar yig‘indisiga teng, ya’ni:
(5)
Bu yerda: - o‘tkazgichning sirtining elementida zaryadlarni sirt zichligi. (4), (5) formulalarni o‘ng qismlarini tengligidan, ularni chap tomonlari ham teng bo‘ladilar, ya’ni:
(6)
yoki (7)
va (8)
bu yerda - o‘tkazgichni o‘rab turgan muhitning nisbiy dielektrik singdiruvchanligi.
Bir jinsli elektr maydoniga neytral, ya’ni zaryadlanmagan o‘tkazgich, masalan, metall shar joylashtiraylik. Maydon ta’sirida o‘tkazgichning erkin elektronlari maydonga qarshi harakat qila boshlaydi. Natijada shar sirtining chap qismi manfiy zaryadlanadi, elektronlar yetishmagan o‘ng qismi esa musbat zaryadlanadi. (2- rasm)

-++++

2-rasm.
Bu hodisa elektrostatik induksiya deyiladi. Induksiyalangan zaryadlar o‘tkazgich ichida o‘zining xususiy maydonini hosil qiladi, bu maydonning o‘tkazgichni dastlab kesib o‘tgan tashqi maydonga qarama-qarshi yo‘nalganligi ravshan. Tashqi maydon o‘tkazgich ichida zaryadlarning xususiy maydoni bilan kompensatsiya qilmaguncha o‘tkazgichda zaryadlar qayta taqsimlanaveradi. Shunday bo‘lganda zaryadlarning qayta taqsimlanishi to‘xtaydi va o‘tkazgich ichida maydon nolga teng bo‘lib qoladi. Shunday qilib, elektr maydoniga joylashtirilgan o‘tkazgich ichida maydon bo‘lmaydi va o‘tkazgichning barcha nuqtalarining potensiali bir xil bo‘ladi, ya’ni o‘tkazgich ekvipotensial jism bo‘ladi va o‘tkazgichning sirti ekvipotensial sirt bo‘ladi. Shunday qilib, elektr maydoniga kiritilgan o‘tkazgich, garchi o‘ zaryadlangan bo‘lsa ham, bu maydonni buzadi: o‘tkazgich yaqinida bu maydon ko‘p chiziqlari (shtrix chiziqlari) va ekvipotensial sirtlar (tutash chiziqlar) tasvirlangan.
Ravshanki,elektr maydoni faqat yaxlit o‘tkazgichning ichidagina emas, balki o‘tkazgichda bo‘lgan kovaklar ichida ichida ham, masalan,kovak shar ichida ham bo‘lmaydi. O‘tkazgichlarning bu xossasidan elektrostatik himoyada foydalaniladi. Tashqi elektr maydonidan himoya qilinishi kerak bo‘lgan asbobni hamma tomondan o‘tkazgich bilan, ya’ni o‘tkazuvchi g‘ilof (ekran) bilan o‘rash kerak. Ekran sirtida paydo bo‘lgan induksiyalangan zaryadlar ekran ichidagi tashqi maydonni kompensatsiyalaydi.
Agar o‘tkazgich zaryadlangan bo‘lsa, u holda unga berilgan zaryadlar kulon itarishish kuchlari ta’sirida iloji boricha katta masofaga uzoqlashadi. O‘tkazgich ichida esa erkin zaryadlar bo‘lmaydi. O‘tkazgichning do‘ng joylari: qirralari, uchlari va shunga o‘xshash joylarida zaryad zich joylashadi. Bunday qismlar yaqinida zaryadlangan o‘tkazgich maydonining kuchlanganligi eng katta bo‘ladi.
O‘tkazgichning sirti ekvipotensial sirt bo‘lgani uchun zaryadlangan o‘tkazgichni potensial bilan harakterlash mumkin. O‘tkazgichning zaryadi ortgan sari uning potensiali ham ortadi. Zaryad kattalikka ortganda
potensial kattalikka ortadi, biroq zaryad ortishining potensial ortishiga bo‘lgan nisbati doimiy qoladi, ya’ni:
(9)
bu yerda - zaryad; - o‘tkazgichning potensiali;
S- kattalik o‘tkazgichning elektr sig‘imi deyiladi.
O‘tkazgichning elektr sig‘imi uning o‘lchamlari va shakliga bog‘liq bo‘lgan muhim elektr kattalikdir. Biroq shuni ta’kidlash kerakki, bunday deyish faqat yagonalangan o‘tkazgichlar uchungina o‘rinli bo‘ladi. Agar o‘tkazgich yaqinida boshqa jismlar turgan bo‘lsa, ularning zaryadlarining maydoni potensialni o‘zgartiradi, binobarin, bunda o‘tkazgichning sig‘imi ham o‘zgaradi. Shunday qilib, (9) formulaga muvofiq yakkalangan o‘tkazgichning elektr sig‘imi son jihatdan shu o‘tkazgichning potensialini bir birlikka o‘zgartiruvchi zaryadga teng.
Elektr sig‘imining birligi Farada shunday yakkalangan o‘tkazgichning sig‘imiki, bunday o‘tkazgich 1 zaryad 1 potensial beradi.

Radiusi ga teng bo‘lgan zaryadlangan sharning potensialini hisoblaylik. Sharning potensiali quyidagiga teng.
(10)
Agar (9) formulani (10) bilan solishtirsak, radiusi ga teng bo‘lgan va nisbiy dielektrik singdiruvchanligi ga teng bo‘lgan bir jinsli cheksiz dielektrikka botirilgan yakkalangan sharning elektr sig‘imi
(11)
ga teng ekanligini topamiz.
Amalda esa bir biridan dielektriklar bilan ajratilgan, miqdor jihatdan teng, qarama-qarshi ishorali zaryadlar bilan zaryadlangan ikkita o‘tkazgichlar sistemasi o‘zaro elektr sig‘im yordamida katta elektr sig‘imlarini hosil qiladi. Agar zaryadlangan ikkita o‘tkazkichlar orasidagi potensiallar ayirmasi va ularda zaryadlarning qiymati bo‘lsa, u paytda o‘zaro elektr sig‘imi quyidagiga teng bo‘ladi:
(12)
O‘zaro elektr sig‘imi o‘tkazgichlarning shakliga, geometrik o‘lchamiga o‘zaro joylanishiga va muhitning dielektrik xususiyatiga bog‘liq.
O‘tkazgichlarning o‘zaro elektr sig‘imi asosida elektrotexnika va radiotexnikada keng qo‘llaniladigan kondensatorlar deb ataluvchi qurilmalar yasalgan.
Kondensator o‘ziga berilgan zaryadni to‘plovchi va uzoq vaqt saqlovchi qurilmadir. Kondensatorlarni hosil qilgan o‘tkazgichlarga kondensatorning qoplanmalari deyiladi.
Kondensatorlar ichida eng ko‘p tarqalgani bir-biridan dielektrik bilan ajratilgan ikki parallel plastinkadan tuzilgan yassi kondensatordir (3-rasm)

+++++++++++++++++

3-rasm
Plastinkalardagi zaryadlar hosil qilgan maydon faqat kondensator qoplamalari orasida to‘plangan, shuning uchun kondensatorning sig‘imi amalda atrofdagi jismlarga bog‘liq bo‘lmaydi.

Kondensatorning sig‘imi quyidagiga teng:
(13)
bu yerda - qoplamalarning har biridagi zaryad; - plastinkalar orasidagi potensiallar ayirmasi.
(14)
bu yerda (15)
(15) formulani va dielektrikning borligini nazarga olsak, u paytda:
(16)
Oxirgi ifodani ekanligini hisobga olgan holda (13) formulaga qo‘ysak, yassi kondensator uchun quyidagi formulani hosil qilamiz:
(17)
bu yerda - kondensator qoplamalarining yuzi;
- kondensator qoplamalari orasidagi masofa;
-qoplamalar orasidagi moddaning nisbiy dielektrik singdiruvchanligi.
Bu formuladan yassi kondensator qoplamalarining yuzi va bu qoplamalarni ajratib turuvchi muhitning dielektrik singdiruvchanligi qancha katta bo‘lsa va qoplamalar orasida masofa qancha kichik bo‘lsa, yassi kondensatorning sig‘imi shuncha katta bo‘ladi.
Sferik kondensator ikkita va konsentrik sferalardan tashkil topgan (4-rasm).
A

4-rasm
Sferik kondensatorda qoplamalar orasidagi potensiallar ayirmasi quyidagiga teng:

(18)
(13) formulada ni o‘rniga (18) formulani qo‘ysak, o‘ paytda sferik kondensatorning elektr sig‘imi quyidagiga teng bo‘ladi:
(19)
bu yerda sferaning radiusi;
sferaning radiusi.
Silindrik kondensator biri ikkinchini ichiga qo‘yilgan ikkita ichlari bo‘sh koaksial metall silindrlardan tashkil topgan (5-rasm).

5-rasm.

Agar qoplamalarda zaryadlar va ga teng va silindrning balanligi va bo‘lsa, u paytda qoplamalar orasidagi potensiallar ayirmasi kuyidagiga teng bo‘ladi:

(20)
bu yerda - zaryadning chiziqli zichligi.
(13) formulada o‘rniga uni qiymatini, ya’ni (20) formulani qo‘ysak, silindrik kondensatorni elektr sig‘imini formulasini hosil qilamiz:
(21)
Kondensator aloqa texnikasi, radiotexnika, elektrotexnikada ko‘p ishlatiladi. Ular o‘zlarining vazifalariga qarab, o‘zgarmas sig‘imli

kondensatorlar va o‘zgaruvchan sig‘imli
kondensatorlarga bo‘linadilar.
Har bir kondensator sig‘imdan tashqari chegaraviy kuchlanish max bilan harakterlanib, bu kuchlanish kondensatorning qoplamalarining teshilishi xavfidan qo‘rqmay beriladigan kuchlanishdan iboratdir. Agar berilgan kuchlanish shu kuchlanishdan katta bo‘lsa, ya’ni > max, qoplamalar o‘rtasidan uchkun o‘tadi va dielektrik buzilib, kondensator ishdan chiqadi.
Kerakli elektr sig‘imini hosil qilish uchun, bir necha kondensatorlar bir-biriga ulanadi, ya’ni kondensatorlar batareyasi hosil qilinadi. Barcha ulanishlarni parallel va ketma-ket ulanishlarga bo‘lish mumkin.
Kondensatorlarni parallel ulash sxemasi 6-rasmda ko‘rsatilgan.

6-rasm
Bunda kondensator qoplamalarining potensiallar ayirmasi bir-biriga teng bo‘ladi va kondensatorlarni zaryadlari:
(22)
(23)
(24)
Kondensatorlar batareyasini zaryadi quyidagiga teng bo‘ladi:
(25)
boshqa tomondan:
(26)
bu yerda S- batareyaning elektr sig‘imi.
Shuning uchun:
(27)
yoki (28)
Parallel ulangan kondensatorlar batareyasining elektr sig‘imi har bir aholida kondensatorlar elektr sig‘imlarining algebraik yig‘indisiga teng.
Agar parallel ulangan kondensatorlarning elektr sig‘imlari bir xil va teng bo‘lsa, u paytda batareyaning elektr sig‘imi quyidagiga teng:
(29)
Kondensatorlarning ketma-ket ulashi 7-rasmda ko‘rsatilgan


7-rasm
Bunda kondensator qoplamalarida zaryadlar bir xil bo‘ladi:
(30)
Bunda ketma-ket ulangan kondensatorlar batareyasining potensial ayirmasi:
(31)
bu yerda S- batareyaning elektr sig‘imi va ayrim kondensator qoplamalaridagi potensial ayirmasi quyidagicha bo‘ladi:
(32)
(33)
(34)
Kondensatorlar batareyasining uchlaridagi potensiallar ayirmasi quyidagiga teng:
(35)
bundan
(36)
binobarin,
(37)
Agar ketma-ket ulangan kondensatorlar batareyasini elektr sig‘imlari bir xil va ga teng bo‘lsa, u paytda batareyaning elektr sig‘imi:
(38)
Ketma-ket ulangan ta bir xil kondensatorlardan tashkil topgan kondensatorlar batareyasining elektr sig‘imi bitta kondensatorning elektr sig‘imidan marta kichik bo‘lar ekan. (37) formuladan ko‘rinadiki, ketma-ket ulangan kondensatorlar batareyasining elektr sig‘imi ulangan elektr sig‘imlarining eng kichigidan ham kichik bo‘ladi.
Kondensatorlar radiotexnika va elektrotexnikaning asosiy elementlaridan biridir. Kondensatorlar integral va differensial elektr sxemalarda keng ishlatiladi. Shuningdek, kondensatorlar o‘zgaruvchan tokni o‘zgarmas tokka aylantirishda, tebranish konturida, zaryadli zarralarning harakat trayektoriyasini o‘zgartirishda va boshqa maqsadlarda keng qo‘llaniladi.