Elektromagnit maydonlar va to’lqinlar Mustaqil ish-1 Mavzu

Vaqt bo‘yicha o ‘zgaruvchi magnit maydon uyurmali elektr maydonni yuzaga keltirib chiqaradi.
Endi magnit maydonni aniqlovchi birinchi tenglamani hosil qilamiz. Buning uchun magnit maydon kuchlanganligidan divergensiya olamiz va div rot A = 0 ekanligini hisobga olib quyidagini hosil qilamiz:
div H = 0. (2)
Bu tenglama magnit maydonni hosil qiluvchi manba – magnit zaryadlari yo’qligini ko‘rsatadi. (1) va (2) - Maksvell-Lorentz tenglamalarining birinchi jufti deyiladi.
Bu tenglamalar hali elektr va magnit maydonni to'liq aniqlamaydi. Birinchidan, yuqorida ta’kidlaganimizdek div E va rot H larni aniqlovchi tenglamalar yo‘q, ikkinchidan, (1) tenglamada magnit maydonning vaqt bo'yicha o'zgarishi ishtirok etmoqda. Shu vaqtda elektr maydonning vaqt bo‘yicha o'zgarishi yuqoridagi tenglamalarda yo‘q. Bu masalaga keyinroq qaytamiz. Endi Maksvell-Lorentz tenglamalarining birinchi juftining integral ko'rinishi hosil qilamiz. Buning uchun (2) tenglamaning har ikkala tomonini ixtiyoriy V hajm bo'yicha integrallaymiz:
(4)
Bu tenglamaga Ostrogradskiy-Gauss formulasi (A.88) ni tatbiq qilamiz:
(4)
Vektordan birorta sirt bo'yicha integral ( AdS) shu sirt bo'yicha vektorning oqimi deyiladi. (4) tenglamaga asosan istalgan berk sirt bo‘yicha magnit maydon oqimi nolga tengligi kelib chiqadi. Bunday xossaga ega bo'lgan maydon toza uyurmali deyiladi. Shunday qilib, magnit maydon uyurmali bo‘lib kuch chiziqlari berk chiziqlardan iborat va yopiq sirt bo‘yicha uning oqimi nolga teng.

1. 
   tenglamaning har ikkala tomonini ixtiyoriy S sirt bo‘yicha integrallaymiz:
   

Bu yerda integrallash sirti vaqt o'tishi bilan o'zgarmaydi deb, vaqt bo‘yicha hosila bilan integralning o‘rni almashtirildi. Chap tomondagi integral S sirtni tortib turuvchi berk kontur bo'yicha olinadi. Berk kontur bo'yicha integral shu vektorning sirkulyatsiyasi deyiladi. Elektr maydon sirkulyatsiyasi shu konturdagi elektr yurutuvchi kuch (EYuK) deyiladi. Shunday qilib: Konturdagi elektr yurutuvchi kuch shu ko n tu r tortib turgan sirtdan o ‘tayotgan magnit oqimining vaqt
bo‘yicha o ‘zgarishiga teskari ishora bilan proporsional ekan. Bu qonun elektromagnit induksiya yoki Faradey induksiya qonuni deyiladi. (4) va (5) Maksvell-Lorentz birinchi juft tenglamalarining
integral ko'rinishini beradi. Maksvell-Lorentz tenglamalarining birinchi jufti (1) ni va (2) ni elektromagnit maydon tenzori (3.33) dan foydalanib to‘rt o'lchovli ko'rinishda ham yozish mumkin. Misol sifatida (4.1) tenglamaning x o'qiga proeksiyasini to‘rt o'lchovli belgilashlarda yozamiz:

Shunga o'xshash (4.1) tenglamaning у va z o'qiga proeksiyalarini va (4.2) tenglamani to‘rt o'lchovli belgilashlarda yozamiz:

(8)

(9)

(10)

(7)~(10) tenglamalarni umumlashtirib Maksvell-Lorentz tenglamalarining

birinchi juftini to‘rt o'lchovli ko'rinishda yozish mumkin:
(11)
Bunda har bir had uchinchi rangli antisimmetrik tenzor bo'lganligi uchun (11) ga bitta to'rt o'lchovli vektomi mos keltirish mumkin:

Elektr va magnit maydon kuchlanganligi uchun yana ikkita tenglamani odatdagidek variatsion prinsip asosida olamiz. Bunda variatsiyalanuvchi umumlashgan koordinata sifatida ta’sir integralida maydon potensiallarini olamiz. Ularni zaryadlar zichligi p(r, t) va tok zichligi j ( r , t ) bilan to'liq aniqlangan deb hisoblaymiz. Ta’sir integrali (4.31) ning birinchi hadida maydon kattaliklari ishtirok etmaydi, shuning uchun uning variatsiyasi nolga teng. Ikkinchi hadda j l(r,t) variatsiyalanmaydi. Bularni hisobga olib, ta’sir integralining variatsiyasini yozamiz:

Bu yerda F^ikбF_ik= F_ik бF^ik ekanligi hisobga olindi. Elektromagnitmaydon tenzori potensiallar orqali ifoda bilan aniqlanishini hisobga olib quyidagini yozamiz:


Bu tenglama konturda hosil qilingan elektromagnit induksiya qonunining differensial ko’rinishi bo’lib, quyidagicha aniqlanadi:

S yuza va L kontur qo’zg’almas va shaklan o’zgarmas deb tasavvur qilaylik. U holda Stoks teoremasiga ko’ra
yoki
Bu tenglamani fizik ma’nosi shundan iboratki, uyurmali elektr maydoni o’zgaruvchan magnit maydonini qo’zg’atadi.

Shunday qilib, Maksvelning ikkinchi H vektorining vaqt bo’yicha o’zgarishi bilan E vektorining fazoda o’zgarishi o’rtasidagi bog’liqlikni ko’rsatadi.