Eng kichik kvadratlar usuli

Eng kichik kvadratlar usuli.

Amaliy masalalarda uchraydigan masalalarning ko‘rinishi ko‘pincha murakkab bo‘lib, ularning analitik ifodasini topish mumkin emas. Bunday hollarda berilgan murakkab funksiyani o‘rganish qulayroq bo‘lgan soddaroq funksiya bilan yoki differensial tenglamalarning xususiy sonli yechimlarga mos keladigan birorta funksiya bilan almashtirish maqsadga muvofiqdir.

Buning uchun erkli o‘zgaruvchi argemuyent bilan funksiyaning sonli mos qiymatlari orasidagi munosabatni funksional bog‘lanishning taqribiy yoki aniq analitik ifodasini interpolyasiya formulalari yoki eng kichik kvadratlar usuli orqali tuzish mumkin.
Ko‘pincha turmushda kuzatishlar va tajribalar orqali empirik formulalarni keltirib chiqarish mumkin.
Masalan: haroratning ko‘tarilishi yoki aksincha pasayishini, simob ustunining ko‘tarilishi yoki pasayishiga qarab bilish mumkin. Demak, harorat bilan simob ustini o‘rtasidagi chiziqli bog‘lanish borligini tajriba orqali bilish mumkin.
Eng kichik kvadratlar usuli birinchi marta 1874 yilda Gauss tomonidan ishlab chiqilgan bo‘lib, ayrim adabiyotlarda bu usul Gauss usuli deb ataladi.


Eng kichik kvadratlar usulining mohiyati.

Tajriba va amaliy masalalarni yechishda berilgan ma’lumotlar asosida ularga mos natajalar olingan bo‘lsin, ya’ni ta berilgan erkli o‘zgaruvchilarning qiymatlariga mos funksiya qiymatlari berilgan bo‘lsin. Quyidagi misollarda eng kichik kvadratlar usulini ko‘rib chiqamiz.

Masalan: ma’lumotlar jadval ko‘rinishda bo‘lsin.

X				…
Y				…

Bu qiymatlarga mos nuqtalarni koordinata tekisligida tasvirlaylik.

Demak, bu X va U o‘zgaruvchilar orasidagi funksional bog‘lanishni quyidagi cha belgilaymiz:
(1)

Masalani yechish uchun biz ana shu tajriba nuqtalardan juda kam farq qiladigan funksiyani ko‘rishimiz kerak.

argument va funksiya qiymati bilan berilgan va ma’lumot qiymatlari ayirmasining kvadratlari yig‘indisi minimum bo‘lsin:
(2)
Ushbu shart bajarilishi uchun, no’malum koeffisentlardan olingan xususiy xosilalar nolga teng bo‘lishi kerak, ya’ni
(3)

(4)
yoki
(5)
(5) sistemadan a va v noma’lum koeffisentlarni topamiz va natijada chiziqli



funksiyani ifodasini hosil qilamiz.
Masalan: nochiziqli va parametrik zanjirlarda signallarni o‘zgartirish.
Nochiziqli qarshilikni volt – amper tavsifi (VAT) jadvalda keltirilgan. Shu tavsifni grafikda ifodalang va uni ikkinchi darajali ko‘phad bilan approksimasiyalang.

Uk				……
ik				……

(6)
Kvadratlari yig‘indisining ayirmasini funksiyasini tuzamiz:
(7)
Noma’lum koeffisentlardan olingan xususiy xosilalar nolga tenglaymiz:

(8)

Natijada noma’lum koeffisiyentlarga nisbatan tenglamalar sistemasiga kelamiz:

(9)

Tenglamalar sistemasini yechib, noma’lum koeffisiyentlarni aniqlaymiz va (6) formulaga ko‘ysak jadvalda keltirilgan ma’lumotlarga asosan approksimasiya funksiyani topamiz.Masalan approksimasiya funksiyasi quyidagicha bo‘lsin.

Funksiya grafigini Maple tilining ikki o‘lchovli grafikas yordamida chizamiz.
>plot(0.1+1.03*u+1.15*u^2,u=0..5,color=red);