Evklid keńisliginde vektorliq maydanlar. Vektorliq maydanlardiń integral siziqlari

2.Ekvipotensial betlikler ham siziqlar. Eger U=U(x,y,z) skalyar shamanin` 
maydani berilgen bolsa, ken`isliktin` sonday noqatlardi` alamiz, olarda fizikaliq 
halat birdey bolsin, yag`niy bul noqatlarda U(x,y,z) funksiya birdey C maniske iye 
bolsin:
U(x,y,z)=C (9) 
Bul jerdegi U(x,y,z) funksiya, a`detdegidey, bir ma`nisli, u`zliksiz ha`m 
keminde birinshi ta`rtibli dara tuwindilarg`a iye, deb oylaymiz. 

---

(9) ten`leme ken`islekdegi qandayda bir betlikti aniqlaydi. C ni parametir 
dep, og’an C
1
, C
2
, ……, C
n
manisler bersek, bul manislerge sa`ykes kelgen 
betlikler payda boladi: 
U
1
(x,y,z)=C
1
, U
2
(x,y,z)=C
2
,……., U
n
(x,y,z)=C
n
. 
Bul betliklerdin` ha`r birinde maydandi aniqlawshi fizikaliq shamalardin` 
ma`nisleri turaqli` boladi.Skalyar maydandi` ani`qlawshi` U(x,y,z) funksiya onin` 
fizikaliq ma`nisine qaramasdan potencial dep ataladi. Sonin` ushin bul betlikler 
ekvipotencial betlikler delinedi. Ken`isliktin` qaysi oblasti`nda skalyar maydan 
ani`qlang`an bolsa, usi oblasttin` ha`r bir M
0
(x
0
,y
0
,z
0
) noqati`nan tek bir 
ekvipotensial betlik o`tedi.Onin` ten`lemesi
U(x,y,z)=U(x
0
,y
0
,z
0
) 
(10)  
Sebebi U(x,y,z)=C degi x,y,z orni`na x
0
,y
0
,z
0 
ni qoysaq, C nin` m`anisi 
to`mendegishe aniqlanadi: 
 
U(x
0
,y
0
,z
0
)=C. 
Misallar keltireyik. U(r)=r
2
= x
2
+y
2
+z
2 
maydan ushin ekvipotensial betlikler – 
koncentrik 
sferalardan, 
U=nr=Ax+By+Cz 
maydan 
ushi`n 
n 
vektorg`a 
perpendikulyar parallel tegisliklerden iba`rat.Joqarida qaralg`an
U=arcsin
√ 
maydan ushin ekvipotensial betlikler – muyeshleri koordinatalar basinda bolg`an 
to`mendegi ha`mme don`elek siyaqli` konuslar klasi`nan ibarat boladi` 
(x
2
+y
2
)sin
2
C-z
2
=0. 
Eger ga`p tegis skalyar maydan U(M)=U(x,y) tuwrali baratirg`an bolsa, 
ekvipotensial betlikler ornina ekvipotensial siziqlar tu`sinigi kiritiledi: 
U(x,y)=C.  
(11)
Analitik geometriya ko`z qarasinan qarag’anda (11) siziq
z=U(x,y) 
(12) 
betliktin` z=C tegislik menen kesilisgen siziq. Demek, skalyar maydan 
U(M)=U(x,y) nin` ekvipotensial siziqlari (12) betlikti XOY tegislikke parallel 
tegislikler menen kesilisiwinen payda boladi. Bul siziqlardi XOY tegislikke 
proyekciyalap, ha`r bir shiziq jani`na kesiwshi tegisliktin` “ tiykarg`i” tegislikten 

---

(mi`Sali`, ten`iz biyikligi) nen qansha uzaqli`qta ekenligin ani`qlawshi` sandi` 
jazi`p barsaq, betliktin` gorizontallar arqali an`latilg`an kartasi payda boladi. 
Tiykarg`i tegislikde payda etilgen siziqlar si`zi`wdag`i` “san otmetkali 
proyekciyalar” deyiledi. 
Ekvipotensial siziqlar ko`rsetilgen tegis si`zba, yag`niy bul siziqlardin` ko`rinisi 
ha`m o’z-ara jaylasiwi betliktin` relyefi – ko`riniwi haqqinda oy beredi. Mi`Sali`: 
ekvipotensial siziqlardin` tig’iz jaylasiwlari iymek betlikdin` tikkeley bo`legine 
sa`ykes kelip, olardin` siyreklengenip jerleri bolsa betliktin` nishab bolegine tuwra 
keledi. Oni 1- sizilmada koriwge boladi. 
1-sızılma 
Metereologiyada da usi` principten paydalaniladi; biraq onda ha`mme jasawlar 
bir tegislikde orinlanadi. Misali, tegis geografiyali`q kartada qaysibir aydin` 
ortasha temperaturasi` belgilenip shig`iladi ham olardi siziq menen tutastirip 
“izotermalar”- bir qiyli temperaturalar siziqlari payda etiledi. 2- sizilmada 
Yevropa bo`legi yanvar ayinin` izotermalari berilgen. Atmosfera basimlari bir tu`r 
bolg’an jaylar belgilenip barilsa, “izobaralar” payda boladi ha`m t.b. 

---

2-sızılma 
Biz joqarida U(r) funksiya bir ma`nisli ha`m u`zliksiz dep oyladiq, yag’niy
∆r→0 bolg’anda
U(r+ ∆r)- U(r) →0 
boliwi kerek.Bunnan ti`sqari, M
0
– maydandag’i qandayda bir noqat bolip, onda 
U(M) funksiyanin` U(M
0
) ma`nisi ya maksimum ya minimum bolsa, maydanda 
sonday noqatlar tawiladi, olar 
U(M)=const= U(M
0
)=C 
ekvipotensial shiziq payda etedi. 
C- o`zgermestin` eki tu`rli ma`nislerine tuwra keletug’in eki ekvipotensial siziq 
o`z-ara 
kesilispeydi.Maydannin` 
ayriqsha 
noqatlarinnan 
basqa 
ha`mme 
noqatlarinda orinli bolg’an bul faktlardi biz dalilsiz keltirdik. 
Ekvipotensial siziqlar tu`rli ko`riniste bola aladi, ha`tte joqarida teksirelgen 
ajralg’an noqat ha`m basqa tur tip ayriqsha noqatlarg’a iye boliwi ha`m mu`mkin. 
Misali, ekvipotensial siziq eki basqa-basqa tarmaqdan ibarat boliwi mumkin. 1-
sızılmadaǵı “ 70” si`zi`q (eki juwiq kontur ) tap sonin`day ekvipotensial siziq 
boladi. “90” belgili siziqtin` ajralg’an noqati bar (yag’niy ekvipotensial siziq juwiq 
kontur menen birge ajralg’an A noqatdan ibarat bolip, bul A noqat- maksimum 
noqat). 

---

Son`inda, ekvipotensial siziq o`z-o`zini kesip o`tiwi, yag’ni “ jatqizilg’an segiz” ∞ 
formasin aliwi mumkin.
Misali, z=xy funksiya ken`islikte giperbolali`q paraboloidti, yag’niy jer 
si`yaqli` betlikti ko`rsetedi, xy=C siziq bolsa ten` ta`repli giperbolalar (269-
sizilma); biraq C=0 ma`nisge eki tuwra siziq sa`ykes keledi: x=0 ha`m y=0 ler 
bolsa o`z-ara (O noqatda) kesilisedi, yag’niu ekvipotensial siziqtin` tuyin noqati 
bar. Bul siziq giperbolali`q paraboloid z=xy ti XOY tegislik menen kesgende 
payda boladi. 
testler. 
1. Maydan payda etiwshi shama skalyar bolsa, bul qanday maydan delinedi? 
A.vektor 
*B.skalyar
C.statsionar emes 
D.statsionar 
2. Waqittin` o`tiwi menen maydan o’zgermese ….. maydan delinedi.Noqatlar 
ornina tuwri so`zdi qoyin`. 
A.vektor 
B.skalyar
C.statsionar emes 
* D.statsionar 
3. Waqit otiwi menen maydan o’zgerse….. maydan delinedi.Noqatlar ornina tuwri 
sozdi qoyin`. 
A.vektor 
B.skalyar
*C statsionar emes 
D.statsionar 
4.To`mendegilerdin` qay biri statsionar emes maydan`g’a misal bola aladi? 
*A.Hawa ig’allig’inin` maydani 
B.Denenin` tig’izliqlari maydani 
C.Temperaturalar maydani 

---

D. Atmosfera basimlari maydani 
5. To`mendegilerdin` qaysi biri vektor maydan`g’a misal bola aladi? 
A. temperaturalar maydani 
B. tezlikler maydani 
C. elektr zaryadinin` kushleniwleri maydani 
*D. B ha`m C variantlar