Eyler va Gamilton graflari

Eyler va Gamilton graflari
Graf, uch, qirra, sikl, Eyler zanjiri, Eyler sikli, Eyler graft, yarim Eyler graft, oriyentirlangan Eyler yo 4i, oriyentirlangan Eyler graft, Flyori algoritmi, Gamilton zanjiri, Gamilton sikli, Gamilton graft, yarim Gamilton graft, kommivoyajer masalasi.
Eyler graflari.
Graflar nazariyasining shakllanishi Kyonig-sberg ko'priklari haqidagi masala bilan bog'liq ekanligi yaxshi malum. L. Eyler 1736-yilda bu masalaning yechimga ega emasligini isbotladi. U graflar nazariyasining ancha umumiy hisoblangan quyidagi savoliga ham javob topdi: qanday shartlar bajarilganda, bog'lamli grafda barcha qirralardan faqat bir marta o'tadigan sikl mavjud bo'ladi?
Grafning har bir qirrasidan faqat bir marta o'tadigan zanjir Eyler zanjiri, deb ataladi. Yopiq Eyler zanjiriga (ya'ni Eyler sik~ liga) ega graf Eyler graft, deb ataladi. Agar grafda yopiq bo'lmagan Eyler zanjiri topilsa, u holda bunday graf yarim Eyler graft, deb ataladi.
1-teorema. Bog'lamli graf Eyler graft bo'lishi uchun undagi barcha uchlarning darajalari juft bo 'lishi zarur va yetarlidir.


Isboti.Zarurligi.G Eyler grafida C—Eyler sikli bo'lsin. U holda Сsikl bo'ylab harakatlanganda grafning har bir uchidan o'tish uchun bir juft qirradan foydalaniladi — bu qirralardan bin uchga kirish uchun, ikkinchisi esa uchdan chiqish uchun zarur bo'ladi. Bu yerda har bir uch darajasining juftligi Сsikldagi har bir qirraning bir marta uchrashi mumkinligidan kelib chiqadi.
Yetarliligi.Endi G grafning har bir uchi darajasi juft bo'lsin, deb faraz qilamiz.G graf bog'lamli bo'lgani uchun undagi har bir uchning darajasi ikkidan kichik emas.Ma'lumki, agar grafda har bir uchning darajasi ikkidan kichik bo'lmasa, u holda bunday graf tarkibida sikl mavjud (ushbu bobning 4-paragrafidagi 1-teore-maga qarang).
Demak, G grafning qirralaridan tashkil etilgan qandaydir C₂ sikl bor. Bu siklni uning ixtiyoriy v, uchidan boshlab quramiz.Dastlab v, uchga insident bo'lgan ixtiyoriy bir qirrani tanlab, bu qirra bo'ylab harakatlanamiz va uning boshqa uchiga o'tamiz. Har safar, imkoniyati boricha, yangi qirra tanlab va bu qirradan o'tib, uning boshqa uchiga boramiz. Shuni ta'kidlash zarurki, bunday o'tishlar jarayonida faqat qirraning yangisini tanlashga harakat qilinadi, uchlar esa istalgancha takrorlanishi mumkin.
Har bir uchga insident qirralar soni juft bo'lgani uchun C_xsiklni qurish jarayoni faqat v_xuchga borgandagina tugaydi. Bu yerda ikki hoi bo'lishi mumkin:

1. 
   C_xsikl G grafning barcha qirralaridan o'tadi yoki
   
2. 
   C_xsikl G grafning barcha qirralaridan o'tmaydi.
   

Birinchi holda teorema isbotlandi deyish mumkin. Ikkinchi holda G grafdan C_xsiklga tegishli barcha qirralarni olib tashlaymiz va natijada hosil bo'lgan grafni C_x deb belgilaymiz. Bu yerda yakkalanib qolgan uchlarni olib tashlash yoki olib tashlamaslik muhim emas.Agar yakkalanib qolgan uchlar olib tashlanmasa, natijada bog'lamli bo'lmagan G_x grafni hosil qilishimiz ham mumkin.Grafdan qirralarni bunday olib tashlash amali, tabiiyki, grafning qirralari sonini kamaytiradi, lekin grafdagi uchlarning darajalari juftligi xossasini o'zgartirmaydi.
G grafning bog'lamligiga ko'ra, C_xsikl va G_xgraf hech bo'lmasa, bitta umumiy uchga ega bo'lishlari kerak. Shu sababli, C_x siklda G_xgrafning qirralariga ham insident bo'lgan qandaydir v₂ uch bor. Bu v uchdan boshlab faqat G_xgrafning qirralaridan tashkil topgan yangi С siklni qurish mumkin.Сsiklni qurish jarayoni faqat v₂ uchga kelib tugashi mumkin.

Oldin qurilgan C_xsiklni ikki qismga ajratamiz:

1. 
   Cj siklning Vj uchidan boshlanib v₂ uchida tugovchi qismi (bu oddiy zanjirni C,(Vj,v₂) bilan belgilaymiz) va
   
2. 
   Cj siklning v₂ uchidan boshlanib, v_} uchida tugovchi qolgan qismi (CfavJ).
   

Agar C₂ sikl Eyler sikli bo'lsa, teoremaning tasdig'i isbotlandi desa bo'ladi.Aks holda yuqorida bayon etilgan jarayonni takrorlaymiz.
Berilgan G grafdagi qirralar soni chekli bo'lganligidan, bu jarayon chekli jarayondir.Bu jarayonni yetarlicha takrorlagandan so'ng, albatta, u Eyler siklini qurish bilan yakunlanadi.