Eyler va Gamilton graflari

1-natija. Bog'lamli graf yarim Eyler graft bo'lishi uchun undagi ikkitadan kо'p bo 'Imagan uchning darajalari toq bo lishi zarur va yetarlidir.
Isboti 1-teoremaning isbotidan ba'zi o'zgartirishlar natijasida hosil qilinishi mumkin.
1-teorema asosida Kyonigsberg ko'priklari haqidagi masalaning (ushbu bobning 1-paragrafiga qarang) yechimi mayjud emas, degan xulosaga kelamiz, ya'ni Kyonigsberg shahrining ixtiyoriy qismida joylashgan uydan chiqib, Pregel daryosi ustiga qurilgan yetti ko'prikdan faqat bir martadan o'tgan holda yana o'sha uyga qaytib kelish mumkin emas.
Oriyentirlangan graflarda oriyentirlangan Eyler yo'lini izlash bilan shug'ullanish mumkin. Har bir yoydan faqat bir marta o'tadigan yo'l oriyentirlangan Eyler yo'li, deb ataladi. Tarkibida oriyentirlangan Eyler yo'li bor bo'lgan oriyentirlangan graf oriyen­tirlangan Eyler grafi, deb ataladi.
Endi qirralari soni n ga teng bo'lgan berilgan Eyler grafida Eyler zanjirini tuzishning Flyori algoritmini¹keltiramiz. Bua lgoritmga kо'ra, grafning qirralari Eyler siklida uchrashi tartibi bo'yicha 1 dan n gacha raqamlab chiqiladi.
Berilgan Eyler grafi uchun Flyori algoritmiga binoan quyidagi ikkita qoida asosida ishlar ketma-ket bajariladi:

1. 
   Grafning ixtiyoriy v uchidan boshlab, bu uchga insident bo'lgan istalgan qirraga (masalan,^ qirraga) 1 raqami beriladi. Bu qirra grafdan olib tashlanadi va v uchdan V uchga (ya'ni olib tashlangan qirraga insident uchga) o'tiladi.
   
2. 
   Oxirgi o'tishdan oldingi o'tish natijasida hosil bo'lgan uch w bo'lsin va oxirgi o'tishda biror qirraga кraqami berilgan deylik. W uchga insident istalgan qirra imkoniyati boricha shunday tanlanadiki, bu qirrani olib tashlash grafdagi bog'lamlilikni buzmasin. Tanlangan qirraga navbatdagi (k+l) raqami beriladi va bu qirra grafdan olib tashlanadi.
   

Flyori algoritmiga ko'ra, ish yuritish Eylergra fiuchun doimo chekli jarayon ekanligi va bu jarayon doimo grafdan barcha qirralarning olib tashlanishi, ya'ni Eyler zanjirini tuzish bilan tugashi isbotlangan. Shuni ham ta'kidlash kerakki, Flyori algoritmini qo'llash jarayonida qirralarni tanlash imkoniyatlari ko'p bo'lgani uchun, bundayvaziyatlarda, algoritmni qo'llash mavjud Eyler sikllaridan birini topish bilan cheklanadi.Tushu-narliki, Flyori algoritmini takror qo'llab (bunda qirralarni tanlash jaroyoni algoritmini avalgi qo'llashlardagi dekaynan takrorlanmaslig kerak) grafda mavjud bo'lgan barcha Eyler sikllarini topish mumkin.
1-misol.1-shaklda tasvirlangan grafni qaraymiz.Awalo, bu grafning Eyler grafi bo'lishi shartini, ya'ni 1-teorema shartlarining bajarilishini tekshiramiz.
Berilgan grafda to'qqizta uch bo'lib, 1, 3, 7, 9 belgili uch-larning darajasi ikkiga, 2, 4, 6, 8 belgili uchlarning darajasi to'rtga,

5 belgili uchning darajasi esa oltiga teng.Xullas, bu grafdagi barcha uchlarning darajalarijuftdir. Shu-ning uchun, 1- teoremaga ko'ra, 1 -shaklda tasvirlangan graf Eyler grafidir va uning tarkibida Eyler sikli mavjud.
Berilgan grafga flyori algo­ritmini qo'llab, mavjud Eyler sikl­laridan birini aniqlaymiz.
Dastlabki uch sifatida grafdagi 1 belgili uch olingan bo'lsin. Bu uchdan ikki yo'nalishda: (1;2) qirra bo'ylab yoki (1;4) qirra bo'ylab harakatlanish mumkin. Masalan, (1;2) qirra bo'ylab harakatlanib

2. 
   belgili uchga o'tamiz. Endi harakatni 3 yo'nalishda: yo (2;3) qirra bo'ylab, yo (2;4) qirra bo'ylab, yoki (2;5) qirra bo'ylab davom ettirish mumkin. Aytaylik, (2;3) qirra bo'ylab harakatlanib
   
3. 
   belgiliuchgao'tganbo'laylik. Shu
   

Usulda davom etish mumkin bo'lgan Eyler sikllaridan
birini, masalan, quyidagi siklni hosil qilamiz:
((1,2), (2,3),(3,5), (5,4), (4,6), (6,9), (9,8), (8,6), (6,5),(5,8), (8,7), (7,5), (5,2), (2,4),(4,1)).