Fakültə: ktf qrup: 341. 20 SƏRBƏst iŞ №1 Fənn: Riyazi analiz -2 Mövzu

Fakültə: KTF

Qrup: 341.20

SƏRBƏST İŞ № 1

Fənn: Riyazi analiz -2

Mövzu: Müsbəthədli sıraların yığılması üçün müqayisə əlaməti

Müəllim: dosent Hüseynov Hamlet

Tələbə: Novruzlu Fuad

ADNSU -2020

Müsbəthədli sıraların yığılması haqqında isbat etdiyimiz təkliflər və yığılma əlamətləri bütün hədləri müsbət

olmayan ədədlər olan

U₁+U₂+…..+U_n+………

s ırasının (U_n ≤0, n=1,2,....) yığılmasını tədqiq etmək üçün də tətbiq olunur. Hədləri müxtəlif işarəli həqiqi ədədlər olan sıraların yığılmasına isə həmin yığılma əlamətlərini bilavasitə tətbiq etmək olmaz. Belə sıraların yığılması müxtəlif üsullarla tədqiq olunur. Hədləri müxtəlif işarəli ədədlər olan sıraların ən sadə növü işarəsini növbə ilə dəyişən sıralardır.

(2)

şəklində olan sıraya işarəsini növbə ilə dəyişən sıra deyilir. İşarəsini növbə ilə dəyişən sıranın hədləri növbə ilə müsbət və mənfi ədədlərdir.Belə sıralar haqqında aşağıdakı teoremi isbat etmək olar.

Teorem (Leybnis). İşarəsini növbə ilə dəyişən sırası üçün (2)

Un ≥ Un+1>0 (n=1,2,...) (3)

və (4) şərtləri ödənildikdə həmin sıra yığılandır.

İsbatı. (2) sırasının cüt indeksli xüsusi cəmlərini

kimi yazaq. U_k-U_k+1 (k=1,2,...) fərqləri (3) şərtinə görə mənfi olmayan ədədlərdir. Buna görə də

S_2(n+1) =S_2n+(U_2n+1-U_2n+2) ≥ S_2n

olar, yəni (2) sırasının cüt indeksli xüsusi cəmlərinin S_2n  ardıcıllığı monoton artandır. Bundan başqa

S_2n=U₁-(U₂ –U₃) -...-(U_2n-2 –U_2n-1 ) - U_2n

bərabərliyi (U_k - U_k+1 ≥ 0, U_2n > 0) göstərir ki, S_2n1 (n=1,2,....) bərabərsizliyi doğrudur.

Deməli, S_2n  monoton artan (azalmayan) və yuxarıdan məhdud ardıcıllıqdır. Belə ardıcıllığın isə sonlu limiti var :

S _2n+1=S_2n+U_2n+1 bərabərliyindən və (4) şərtinə görə olmasından aydındır ki, (2) sırasının tək indeksli xüsusi cəmləri ardıcıllığı da həmin S ədədinə yığılır:

( 5) və (6) bərabərlikləri (2) sırasının xüsusi cəmlərinin S_n  ardıcıllığının yığılan olduğunu göstərir:

Teoremin isbatından aydındır ki, (2) sırasının cüt indeksli xüsusi cəmləri ardıcıllığı azalmayan, tək indeksli S_2n+1=U₁-(U₂ –U₃) -...-(U_2n –U_2n+1 )= S_2n-1-(U_2n –U_2n+1) xüsusi cəmləri ardıcıllığı isə artmayandır.