Fakültə Riyaziyyat İxtisas – Riyaziyyat müəllimliyi Qrup

Azərbaycan Respublikası Təhsil Nazirliyi Mingəçevir Dövlət Universiteti

Kafedra – Pedaqoji

Fakültə - Riyaziyyat

İxtisas – Riyaziyyat müəllimliyi

Qrup – R19.2

Kurs – II

Semester – II

Fənn – Cəbr

Tələbə - Əliyev Rəşad

Müəllim – Sabir Babuşov

Sərbəst iş №1

Ədədlər nəzəriyyəsində ən çox işlədilən funksiyalar

1. və funksiyaları

Tərif 1: x həqiqi ədədini aşmayan ən böyük tam ədədə x ədədinin tam hissəsi deyilir və kimi işarə olunur.

Məsələn, [7] = 7, [2,3] = 2, [-3,4] = -4 [lg 1,75] = 0.

bərabərsizliyi doğrudur.

Tərif 2: x ədədi ilə onun tam hissəsinin fərqinə x ədədinin kəsr hissəsi deyilir və ilə işarə olunur.

Məsələn {7}= 0, {2,3}= 0,3, {-3,4}= 0,6. Asanlıqla görmək olar ki, {x}= x- Bu funksiyalardan [x] funksiyasına daha çox rast gəlmək olar. Məsələn, onlardan birini aşağıdakı teoremdə göstərmək olar.

Teorem 1: p sadə ədədinin n! hasilinə daxil olduğu üst

cəminə bərabərdir.

Qeyd edək ki, (1) cəmi sonludur. Həqiqətən, bu cəmdəki toplananlarda kəsrin surəti sabit olaraq qalır, məxrəc isə p – nin qüvvətləri şəklində artır. Ona görə də elə bir k – cı toplanan olacaq ki, orada olacaq və həmin toplanan və ondan sonar gələn toplananların hamısı sıfır olacaq.

Teoremin isbatı: vuruqları içərisində p – yə bölünən ədədlər şəklində olar. Burada M müəyyən natural ədəd olar, yəni p – yə bölünən ədədlərin sayı olar. Ona görə də

olar. Burada M ∫ p. Həmin bu mühakiməni ədədi üçün təkrar etsək alarıq ki, Hasilində p – yə ədədlər şəklində olur və

olar. Mühakiməni bu qayda ilə davam etdirsək, müəyyən addımdan sonra və olacaq. Ona görə də p – nin daxil olduğu ümumi üst

olar.

Məsələn, 3 ədədinin 40! Hasilinə daxil olduğu üst

olar. Bu teoremdən istifadə edərək n! Hasilinin kanonik ayrılışını tapmaq olar. Bunun üçün n – dən kiçik bütün sadə ədədlərin n! Hasilinə daxil olduğu üstü tapmaq lazımdır. Onda

Məsələn 20! – hasilinin kanonik ayrılışını tapaq. 20 – yə qədər olan sadə ədədlər 2,3,5,7,11,13,17,19 ədədləridir. Bunların hər birinin daxil olduğu üstü uyğun olaraq ilə işarə etsək taparıq:

Onda alarıq:

20! =

2.Multiplikativ funksiyalar

Tərif 3: tam ədəd olduqda funksiyası aşağıdakı iki şərti ödəyərsə, ona multiplikativ funksiya deyilir:

1. 
   funksiyası ixtiyari tam ədədi üçün təyin olunub və nın heç olmazsa bir qiymətində sıfra çevrilmir.
   
2. 
   ( ) = 1 olduqda
   

Məsələn, funksiyası multiplikativ funksiyadır. Multiplikativ funksiya 2 şərtini ( ) = 1 olmadan da ödəyərsə, ona tam multiplikativ funksiya deyilir. funksiyası tam multiplikativ funksiyadır. Multiplikativ funksiyanın tərifindən aşağıdakı xassələr alınır.

1. 
   Həqiqətən
   
2. 
   İki multiplikativ funksiyanın hasili də multiplikativ funskiyadır. multiplikativdirsə, θ funksiyanın multiplikativ olduğunu yoxlayaq:
   

1. 
   θ(1)
   
2. 
   ( ) = 1 isə, onda alırıq:
   

Deməli, multiplikativ funksiya, isə ədədinin kanonik ayrılışı olsun. ədədinin bütün bölənləri üzrə cəmi işarə etsək, aşağıdakı eynilik doğrudur:

( oduqda sağ tərəfi 1 - ə bərabər götürürük). Bu eyniliyi isbat etmək üçün sağ tərəfdəki mötərizələri açaq. Onda sağ tərəfdə

şəklindəki toplananların cəmi alınar. Belə ki, bu şəkildə heç bi rtoplanan kənarda qalmayacaq və heç bir belə topölanan təkrarlanmayacaq. Bu isə ədədinin bölənlərinin cəmi olacaqdır, yəni sol tərəfə bərabər olacaqdır.

Xüsusi halda olarsa, yuxarıdakı eynilik aşağıdakı kimi şəkil alar:

). (5)

(5) eyniliyini tətbiq edərək, natural ədədin natural bölənlərinin cəmi və sayı funksiyalarını almaq olar.

3.Bölənlərin cəmi funksiyası

kanonik ayrılışı verilmişdir; ədədinin bölənlərinin cəmi (bunu ilə işarə edək) tapmaq tələb olunur, yəni

cəmini tapmaq lazımdır. Bu cəmi tapmaq üçün (5) eyniliyində s= 1 götürmək kifayətdir. Doğrudan da s=1 olduqda eyniliyin sol tərəfi axtardığımız cəmini, sağ tərəfi isə həmin cəmin toplananlar üzrə mümkün olanlarının ifadə edir. Ona görə də alırıq:

Sağ tərəfdə hər bir mötərizəyə həndəsi silsilənin hədlər cəmi düsturunu tətbiq etsək alarıq:

və ya

(6)


4.Bölənlərin sayı funksiyası

kanonik ayrılışı verildikdə, bölənlərin sayı dedikdə ilə işarə edək) əslində

cəmini tapmaq tələb olunur. Bunun üçün (5) düsturunda s=0 götürmək kifayətdir. Doğrudan da

və ya

Misallar:

( )