Fanlararo aloqadorlik asosida darslarda vektorlarning fizik va geometrik talqinlarini bayon etish texnologiyasi

1-masala.
Agar 
|𝑎⃗|
=4, 
|𝑏⃗⃗|
=3 bo’lib, vektorlar orasidagi burchak 120
0
bo’lsa, bu 
vektorlarga qurilgan parallelogram diagonallarining uzunliklarini toping.
Vektorlarni qo‘shish va ayirishning parallelogramm qoidasiga ko’ra, ya’ni : 
𝑎⃗ +
𝑏⃗⃗
va 
𝑎⃗ − 𝑏⃗⃗
vektorlar 
𝑎⃗
va
𝑏⃗⃗
vektorlarlarga qurilgan parallelogrammning 
diagonallaridan iborat. 

---

160 
Yechish: parallelogram qoidasiga ko’ra : 
|𝑎⃗ + 𝑏⃗⃗| =
d
1
, 
|𝑎⃗ − 𝑏⃗⃗| =
d
2
Vektor xossalaridan foydalansak: 
|𝑎⃗ + 𝑏⃗⃗|
=
√(𝑎⃗ + 𝑏⃗⃗)
2
=
√𝑎⃗
2
+ 2𝑎 
⃗⃗⃗⃗𝑏⃗⃗ + 𝑏
2
⃗⃗⃗⃗⃗
|𝑎⃗ − 𝑏⃗⃗|
=
√(𝑎⃗ − 𝑏⃗⃗)
2
=
√𝑎⃗
2
− 2𝑎 
⃗⃗⃗⃗𝑏⃗⃗ + 𝑏
2
⃗⃗⃗⃗⃗
d
1
=
√16 + 2·4·3·𝑐𝑜𝑠120
0
+ 9
= 
√13
d
2
=
√16 − 2·4·3·𝑐𝑜𝑠120
0
+ 9
= 
√37
2-Masala.
Uchlari A
(1; 3; 5), 𝐵(−3; 4; 7) 
va C
(4; 6; 3) 
nuqtalarda bo’lgan
uchburchak yuzasini toping. 
Parallelogrammning yuzasi
. Fazoda berilgan 
 
𝑎⃗
va 
𝑏⃗⃗
vektorlarning vektor 
ko‘paytmasining moduli
|𝑎⃗ × 𝑏⃗⃗|
son jihatdan shu
𝑎⃗
va
𝑏⃗⃗
vektorlarga qurilgan 
parallelogrammning yuzasiga teng. 
Дemak, 
𝑎⃗
va 
𝑏⃗⃗
vektorlarga qurilgan 
uchburchakning yuzi
shu vektorlar vektor 
ko’paytmasi modulining yarmiga teng.
Yechish.
ABC uchburchak yuzasi 
𝐴𝐵
⃗⃗⃗⃗⃗⃗
va 
𝐴𝐶
⃗⃗⃗⃗⃗⃗
vektorlarga qurilgan 
parallelogramm yuzining yarmisiga teng. 
𝐴𝐵
⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = (−3 − 1; 4 − 3; 7 − 5) = (−4; 1; 2)
𝐴𝐶
⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = (4 − 1; 6 − 3; 8 − 5) = (3; 3; 3)
𝐴𝐵
⃗⃗⃗⃗⃗⃗ × 𝐴𝐶
⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = (−3; 18; −15)
|𝐴𝐵
⃗⃗⃗⃗⃗⃗ × 𝐴𝐶
⃗⃗⃗⃗⃗⃗| = √9 + 324 + 225 = 3√62
𝑎⃗ + 𝑏
𝑎⃗
𝑏⃗⃗
𝑎⃗ − 𝑏⃗⃗
𝑎⃗
𝑏⃗⃗

---

161 
𝑆 =
3
2
√62
3-masala. ABC
ucburchakning
A, 
B, C
burchaklari berilgan bo‘lib, 
M
nuqta 
BC
tomonning o‘rtasi bo‘lsa
BAM
burchakni toping.
Yechish: faraz qilaylik
< BAM=α, 
PB=c, AC=b, BC=a
 
AM 
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗
⇈
(
AB
⃗⃗⃗⃗⃗⃗
+
AC
⃗⃗⃗⃗⃗⃗
) ekanligidan
cosα=
AB
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗(AB
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗+AC
⃗⃗⃗⃗⃗⃗)
|AB
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗||AB
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗+AC
⃗⃗⃗⃗⃗⃗|
=
AB
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗
2
+(AB
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ · AC
⃗⃗⃗⃗⃗⃗)
c(c
2
+b
2
+2bc cosA)
va 
b
c
=
sinB
sinC
dan
cosα=
sinC+sinB+sinA
√sin
2
B+sin
2
C+sin
2
A
bundan α=arccos
sinC+sinB+sinA
√sin
2
B+sin
2
C+sin
2
A
4-masala. 
Kub diagonali bilan uning qirrasi orasidagi burchakni toping. 
Yechish.
Uning uchun kubning bir uchini koordinata boshi deb tushunib uch o‘lchovli 
Dekart koordinatalar sistemasini kiritamiz.
𝑢
⃗⃗ = (𝑘; 0; 0)
,
𝑣⃗ = (0; 𝑘; 0)
,
𝑤
⃗⃗⃗ = (0; 0; 𝑘)
U holda diagonal bo‘yicha yo‘nalgan vektor
𝑑⃗ = 𝑢
⃗⃗ + 𝑣⃗ + 𝑤
⃗⃗⃗ = (𝑘; 𝑘; 𝑘)
𝑐𝑜𝑠𝜃 =
𝑢
⃗⃗ ∙ 𝑑⃗
|𝑢⃗⃗||𝑑⃗|
=
𝑘
2
𝑘√3𝑘
2
=
1
√3
,
𝜃 = 𝑎𝑟𝑐𝑐𝑜𝑠
1
√3
≈ 54,74
0
Jismga ta’sir etadigan kuchning (qo‘yilgan kuchni) yo‘nalishi ta’sir etish 
yo‘nalishi bilan bir xil, absolut qiymati esa kuch miqdoriga proporsional vektor bilan 
A 
B 
M 
C 
𝑢
⃗⃗
𝑣⃗
𝑤
⃗⃗⃗

---

162 
tasvirlash qulay. Tajriba shuni ko‘rsatadiki, kuchlami bunday tasvirlash usulida jismga 
bir nuqtada ta’sir qiluvchi ikki yoki bir nechta kuchning teng ta’sir etuvchisi shu 
kuchlarga mos vektorlarning yig‘indisi bilan, agar qarama qarshi yo‘nalgan bo‘lsa 
vektorlar ayirmasi bilan tasvirlanadi, jismga A nuqtada a va b vektorlar bilan tasvir-
langan ikkita kuch ta’sir etadi. Bu kuchlarning teng ta’sir etuvchisi с=a+b vektor bilan 
tasvirlanadi. Kuchni berilgan ikki yo‘nalishda ta’sir etuvchi kuchlarning yig‘indisi 
shaklida tasvirlash kuchni yo ‘nalishlar boyich yoyish (ajratish) deyilad. Fizikada 
jismning ilgarilanma harakati deb shunday harakatga aytiladiki, bunda jismning barcha 
nuqtalari 
bir 
xil 
vaqt 
oralig‘ida 
bir xil 
yo‘nalishda 
bir xil masofaga 
siljiydi.Shunday qilib, fizikadagi siljish vektor darsligimizda qabul qilingan ma’nodag
i vektor ekan.
5-masala.
Moddiy nuqta A(2;4;6) nuqtadan B(4;2;7) nuqtaga 
𝐹⃗
(3;2;4) kuch 
ta’sirida to’g‘ri chiziq bo’ylab ko’chgan. F kuchning bajargan ishini va ko’chish 
yo’nalishi bilan tashkil qilgan burchagini toping.
Doimiy kuch ishi. 
Moddiy nuqta A nuqtadan B nuqtaga 
𝐹⃗
kuch ta’sirida to’g‘ri 
chiziq bo’ylab ᵠ burchak ostida ko’chgan bo’lsin. 
𝐴𝐵
⃗⃗⃗⃗⃗⃗
=
𝑆⃗
va (fizikadan ma’lumki) 
A=F·S·cosα ekanligidan A=
𝐹⃗
·
𝑆⃗
kelib chiqadi. Demak, moddiy nuqtaning to’g’ri 
chiziqli harakatida o’zgarmas kuchning bajarilgan ishi, kuch vektori bilan ko’chish 
vektorining skalyar ko’paytmasiga teng.
𝑆⃗
=
𝐴𝐵
⃗⃗⃗⃗⃗⃗
=(2;-2;1) A=
𝐹⃗
·
𝑆⃗
=3·2+2·(-2)+4·1=6 
cosα
=
𝐹⃗·𝑆⃗ 
|𝐹⃗||𝑆⃗|
=
2
√29
α=arccos
2
√29
 
 
Xulosa 
qilish mumkinki, fanlararao aloqadorlik bir qator fanlar bo'yicha bir 
biriga mos keluvchi o'quv materialini tanlash va tuzilishiga ta'sir qiluvchi, 
o'quvchilarning 
tizimli 
bilimlarini 
mustahkamlashga, 
o'qitish 
usullarini 
faollashtirishga, ta'limni tashkil etishning murakkab shakllaridan foydalanishga, 
ta'limning birligini ta'minlashga qaratilgan zamonaviy o'qitish tamoyilidir. 
Ta'limdagi 
integratsiya, eng avvalo, fanlardagi aloqalarni sezilarli darajada rivojlantirish va 
chuqurlashtirishni, turli fanlarni o'qitishni uyg'unlashtirishdan ularning chuqur o'zaro 
ta'siriga o'tishni nazarda tutadi. 
Fanlarning integratsiyasi fikrlash jarayonlarini 

---

163 
rivojlantiradi, ijodiy shaxsni rivojlantirishga yordam beradi, ta’lim oluvchida tabiatga, 
odamlarga, hayotga yaxshi munosabatda bo'lishga asoslanadi.
Foydalanilgan adabiyotlar: 
1.
Yo.U. Soatov “Oliy matematika” 3-jild Toshkent “O’qituvchi” 1996yil
2.
SH.R. Xurramov. Oliy matematika 1-jild. Darslik. Cho’lpon nomidagi 
nashriyot-matbaa ijodiy uyi. Toshkent — 2018y. 
3.
M.A.Babayeva. Matematik masalalarni yechishda fizika bilan fanlararo 
bogʼlanish texnologiyasi. Toshkеnt davlat Pеdagogika univеrsitеti. Ilmiy axborotlari 
ilmiy nazariy jurnali. 2-son, 2022 yil. В. 4-11. ISSN 2181-9580 (13.00.00.№ 32) 
4.
M.A.Babayeva. 
Kompetensiyaviy 
yondashuvda 
o’quv 
fanlari 
integratsiyasining ahamiyati. Toshkеnt davlat Pеdagogika. Ilmiy axborotlari ilmiy 
nazariy jurnali. 5-son, 2022 yil. В.328-334. ISSN 2181-9580 (13.00.00.№ 32)