Farg’ona davlat universiteti matematika-informatika fakulteti matematika yo’nalishi 22. 02-guruh talabasi

Farg’ona davlat universiteti

matematika-informatika

fakulteti matematika yo’nalishi

22.02-guruh talabasi

Anvarjonov Mirzamurodning ,,Differensial tenglamalar fanidan” tayyorlagan

TAQDIMOTI

• To’la differensialli tenglama. Integrallovchi ko’paytuvchilar va unga keltiriladigan masalalar.

• Reja:
• 1.To’la differensialli tenglama.
• 2.Integrallovchi ko’paytuvchi.
• 3.Integrallovchi ko’paytuvchini topish usullari.

• To’la differensialli tenglama. x va y o’zgaruvchilar teng huquqli qatnashgan differensial tenglamani qaraylik:
• (1)
• Agar D sohada (1) tenglamaning chap tomonidagi differensial ifoda biror funksiyaning to’la differensialidan iborat, ya’ni,
• bo’lsa, u holda (1) tenglama D sohada to’la (to’liq) differensialli
• tenglama deyiladi. Bu yerdagi u funksiya potensial deb
• ataladi.
• To’la differensialli tenglama uchun differensiall ta’rifi
• va (2) tenglikka ko’ra

• (3)
• bo’ladi hamda ko’rinishiga keladi.
• differensial ifoda biror funksiyaning to’la differensialidan iborat bo’lishi uchun yetarli shartlar matematik
• analiz kursida o’rganiladi. Biz bu yerda quyidagi local teoremani
• keltiramiz.
• Teorema. Aytayik, M,N funksiyalar hamda va hosilalar
• nuqtaning biror doiraviy atrofida uzluksiz bo’lsin. U holda (1) tenglamaning
• da to’la differensialli bo’lishi uchun ning har bir
• nuqtasida
• shartning bajarilishi zarur va yetarlik.

• 1-misol. Ushbu
• Tenglama tekislikda to’la differensialldir, chunki bu tenglama uchun va
• potensialni (3) shartlardan foydalanib topamiz;
• , ;

• Integrallovchi ko’paytuvchi. “Agar berilgan tenglama uchun
• shart bajarilmasa, tenglamani biror “integrallovchi” ko’paytuvchiga ko’paytirib, uni to’la differensialli ko’rinishiga keltirish mumkinmi?”- degan savol tug’iladi.
• Farza qilaylik, ushbu
• (2.1)
• tenglama to’liq differensialli tenglama bo’lmasin, ya’ni
• sohada aniqlangan birorta ham U(x,y) funksiya uchun, ushbu
• (2.2)
• tenglama to’liq differensialli tenglama bo’lsa, u holda (2.1)
• tenglamaga keltiriladiga tenglama, funksiyaga esa uning
• Integrallovchi ko’paytuvchisi deyiladi.

• Bu holda
• (2.3)
• o’rinli bo’ladi. Bundan
• (2.4)
• ekanligini topamiz.
• 2.1-teorema Agar
• bo’lib, funksiya
• Intervalda aniqlangan hamda (2.2) differensial tenglamaning yechimi bo’lsa u holda funksiya (2.1) differensiall
• Tenglamaning ham shu intervalda aniqlangan yechimi bo’ladi.

• 2.2-teorema. Agar (2.1) differensiall tenglama U(x,y)=C
• umumiy integralga ega bo’lsa, u holda differensiall tenglama uchun integrallanuvchi ko’paytuvchi mavjud.
• 2.3-teorema. Agar (2.1) differensiall tenglamaning integrallovchi ko’paytuvchisi bo’lib, uning integrali bo’lsa,
• u holda
• (2.7)
• Funksiya ham (2.1) tenglamaning integrallovchi ko’paytuvchisi
• bo’ladi. Bu yerda ixtiyoriy differensallanuvchi funksiya.

• Integral ko’paytuvchini toppish usullari.
• Integrallovchi ko’paytuvchi topish uchun umumiy tizim to’liq
• Ishlab chiqilmagan. Shuning uchun ba’zi xollarni alohida-alohida
• ko’rib o’tamiz.
• Integrallovchi ko’paytuvchini biror funksiyaning
• (3.1)
• funksiyasi sifatida izlab ko’raylik. (3.1)ni
• formulaga qo’ysak
• ko’rinishiga keladi.

• Xususiy hollar
• 1)
• 2) ya’ni o’zgarmas songa teng bo’lmasa.
• 1-hol.
• ya’ni faqat x ga bog’liq bo’lsa, u holda
• Integrallovchi ko’paytuvchi ko’rinishida izlanadi.
• 2-hol.
• ya’ni faqat y ga bog’liq bo’lsa, u holda

kabi izlanadi.

• 3-xol. Agar va funksiyalar topilsa u
• u holda bo’ladi.
• 4-xol.
• Agar va funksiyalar bir xil o’chovli, bir jinsli
• tenglamalar bo’lsa, u holda quyidagicha izlaymiz.