To’la differensialli tenglama. Integrallovchi ko’paytuvchilar va unga keltiriladigan masalalar.
Reja:
1.To’la differensialli tenglama.
2.Integrallovchi ko’paytuvchi.
3.Integrallovchi ko’paytuvchini topish usullari.
To’la differensialli tenglama. x va y o’zgaruvchilar teng huquqli qatnashgan differensial tenglamani qaraylik:
(1)
Agar D sohada (1) tenglamaning chap tomonidagi differensial ifoda biror funksiyaning to’la differensialidan iborat, ya’ni,
bo’lsa, u holda (1) tenglama D sohada to’la (to’liq) differensialli
tenglama deyiladi. Bu yerdagi u funksiya potensial deb
ataladi.
To’la differensialli tenglama uchun differensiall ta’rifi
va (2) tenglikka ko’ra
(3)
bo’ladi hamda ko’rinishiga keladi.
differensial ifoda biror funksiyaning to’la differensialidan iborat bo’lishi uchun yetarli shartlar matematik
analiz kursida o’rganiladi. Biz bu yerda quyidagi local teoremani
keltiramiz.
Teorema. Aytayik, M,N funksiyalar hamda va hosilalar
nuqtaning biror doiraviy atrofida uzluksiz bo’lsin. U holda (1) tenglamaning
da to’la differensialli bo’lishi uchun ning har bir
nuqtasida
shartning bajarilishi zarur va yetarlik.
1-misol. Ushbu
Tenglama tekislikda to’la differensialldir, chunki bu tenglama uchun va
potensialni (3) shartlardan foydalanib topamiz;
, ;
Integrallovchi ko’paytuvchi. “Agar berilgan tenglama uchun
shart bajarilmasa, tenglamani biror “integrallovchi” ko’paytuvchiga ko’paytirib, uni to’la differensialli ko’rinishiga keltirish mumkinmi?”- degan savol tug’iladi.
Farza qilaylik, ushbu
(2.1)
tenglama to’liq differensialli tenglama bo’lmasin, ya’ni
sohada aniqlangan birorta ham U(x,y) funksiya uchun, ushbu
(2.2)
tenglama to’liq differensialli tenglama bo’lsa, u holda (2.1)
tenglamaga keltiriladiga tenglama, funksiyaga esa uning
Integrallovchi ko’paytuvchisi deyiladi.
Bu holda
(2.3)
o’rinli bo’ladi. Bundan
(2.4)
ekanligini topamiz.
2.1-teorema Agar
bo’lib, funksiya
Intervalda aniqlangan hamda (2.2) differensial tenglamaning yechimi bo’lsa u holda funksiya (2.1) differensiall
Tenglamaning ham shu intervalda aniqlangan yechimi bo’ladi.
2.2-teorema. Agar (2.1) differensiall tenglama U(x,y)=C
umumiy integralga ega bo’lsa, u holda differensiall tenglama uchun integrallanuvchi ko’paytuvchi mavjud.
2.3-teorema. Agar (2.1) differensiall tenglamaning integrallovchi ko’paytuvchisi bo’lib, uning integrali bo’lsa,
u holda
(2.7)
Funksiya ham (2.1) tenglamaning integrallovchi ko’paytuvchisi
bo’ladi. Bu yerda ixtiyoriy differensallanuvchi funksiya.
Integral ko’paytuvchini toppish usullari.
Integrallovchi ko’paytuvchi topish uchun umumiy tizim to’liq
Ishlab chiqilmagan. Shuning uchun ba’zi xollarni alohida-alohida
