Fazoda to’g’ri chiziq va tekslik tenglamalari

§. To’g’ri chiziqning vektor shaklidagi tenglamasi.
Berilgan M ₀ (x ₀ ;y ₀ ;z ₀ ) nuqtadan ^s =(m;n;p) vektorga paralell holda o’tuvchi

to’g’ri chiziq tenglamasi
r  r₀  ts
(1) ko’rinishda bo’ladi va to’g’ri chiziqning

vektor shaklidagi tenglamasi deyiladi. Bu yerda ^r -to’g’ri chiziqdagi istalgan M(x;y;z)
nuqtaning radius vektori (20-chizma) r₀ esa M ₀ (x ₀ ;y ₀ ; z ₀ ) nuqtaning radius vektori, t-
harqanday haqiqiy qiymatlar qabul qiluvchi parametr. ^s - to’g’ri chiziqning yo’naltiruvchi vektori deyiladi, uning koordinatalari esa (ya’ni m,n,p sonlar) to’g’ri chiziqning yo’naltiruvchi koeffitsientlari deyiladi.

To’g’ri chiziqning parametrik va kanonik tenglamalari.

Agar (1) tenglamada vektorlarning koordinatalariga o’tilsa, ya’ni


^{x  x0  tm}
r₀ ={x₀;y₀;z₀},

^r ={x;y;z}, ^s ={m;n;p} larni e’tiborga olsak:
y  y₀ z  z

• 
  ^{tn } (2) Bu tenglama to’g’ri
  
• 
  tp ^
  

⁰ 
chiziqning koordinata shakldagi prametrik tenglamasi deyiladi. (t-parametr) (
2) tenglamalarga qaraganda biz fazoda to’g’ri chiziq parametrik shaklda uchta tenglama bilan beriladi degan xulosaga kelamiz.
Parametrik tenglamadan t ni topamiz:

_{t } x  x_{0 ,
t } y  y_{0 ,
t } z  z₀
Demak ,
x  x_{0 =} y  y_{0 =} ^{z  z}₀
(3)

m n ^p m n ^p

Bu tenglama to’g’ri chiziqning kanonik tenglamasi deyiladi.

(3) tenglamalar fazodagi to’g’ri chiziq o’zgaruvchi x,y,z koordinatalarga nisbatan birinchi darajali 2 ta tenglama bilan berilishini ko’rsatadi.

(2) va (3) tenglamalar M ₀ (x ₀ ;y ₀ ;z ₀ ) nuqtadan o’tgan va yo’naltiruvchi vektori
s ={m;n;p} bo’lgan to’g’ri chiziqning tenglamasidir.

To’g’ri chiziqning umumiy va berilgan ikki nuqtadan o’tuvchi

tenglamalari.


Agar A₁x+B₁y+C₁z+D₁=0(^ ) va A₂x+B₂y+C₂z+D₂=0 (  ) teikslik tenglamalari o’zaro parallel bo’lmasa, u holda ular to’g’ri chiziq bo’ylab kesishadi. Shu sababli, fazoda to’g’ri chiziqni ikki tekislikning kesishish chiziq sifatida qaraymiz. Demak, fazoda to’g’ri chiziq quyidagi tenglamalar sistemasi bilan aniqlanadi:

^{A1x  B1 y  C1z  D1  0}
(4)

^A x  B y  C z  D  0
 2 2 2 2

4. 
   ga to’g’ri chiziqning umumiy tenglamsi deyiladi.
   

Agar ^ va  tekislik tenglamalari o’zaro parallel bo’lsa (4) to’g’ri chiziqni ifodalamaydi.

Faraz qilaylik, to’g’ri chiziqning ikki M₁(x₁; y₁; z₁) va M₂(x₂; y₂; z₂) nuqtasi

berilgan bo’lsin. Bu to’g’ri chiziqning yo’naltiruvchi vektori sifatida



a  M₁M ₂
vektorni

olish mumkin. Agar M(x;y;z) nuqta to’g’ri chiziqning siljuvchi nuqtasi bo’lsa bo’lsa, u

holda,
M₁M M₁M
va ^a vektorlar parallel bo’ladi. Berilgan koordinataga ko’ra,
={x-x₁; y-y₁; z-z₁} , ^a ={x₂-x₁; y₂-y₁; z₂-z₁}

Vektorlarning kollenierlik shartiga ko’ra:
x  x_{1 }
x₂  x₁
y  y₁
y₂  y_1
 z  z₁
z₂  z₁
(5)

4. 
   ga berilgan ikki nuqtadan o’tuvchi to’g’ri chiziq tenglamasi deyiladi.
   

To’g’ri chiziqning yo’naltiruvchi kosinuslari.

To’g’ri chiziqning yo’naltiruvchi vektori uchun birlik vektor olganda, ya’ni

S  S₀

bo’lganda m, n,p koeffitsientlar to’g’ri chiziq bilan Ox,Oy, Oz o’qlar orasidagi ^ ,  ,  burchaklarning kosinuslariga teng bo’lsa, bu holda (2) parametrik va (3) kanonik tenglamalar mos tartibda
^{x  x0  t cos} 



y  y₀  t cos 
(2`) va
x  x<sub>0</sub>
cos
<sub></sub> y  y<sub>0</sub>
cos 
<sub></sub> z  z<sub>0</sub>
cos
(3`) ko’rinishlarni oladi.


z  z₀  t cos ^{
cos , cos  , cos} lar to’g’ri chiziqning yo’naltiruvchi kosinuslari deyiladi.
Yo’naltiruvchi kosinuslarni yo’naltiruvchi koeffitsientlar bilan ifodalash mumkin.

Buning uchun
S  SS₀
tenglikdan foydalanamiz, bunda s skalyar S vektorning

uzunligidir. Keyigni tenglikni proeksiyalar bilan yozsak, m=scos^ , n=scos  , p=scos (6)hosil bo’ladi; bu tengliklar to’g’ri chiziqning yo’naltiruvchi koeffitsientlari bilan uning yo’naltiruvchi kosinuslarining bir-biriga proporsionalligini ko’rsatadi. S
vektorning uzunligi S  ekanini e’tiborga olib, (6) tenglikdan
yo’naltiruvchi kosinuslarini topamiz:

m

cos 
_ s



_cos  ^m


_ s
^cos  ^m
_ s


m



m²  n²  p ²


n

m²  n²  p ²


p

m²  n²  p ²

(7)

(7) formulalar yo’naltiruvchi vektorning uzunligi qanday bo’lmasin, fazodagi to’g’ri chiziqning yo’nalishi yo’naltiruvchi koeffitsientlar bilan aniqlanishini ko’rsatadi. Shuning uchun ko’p masalalarda fazodagi to’g’ri chiziqning yo’nalishi m:n:p nisbat shaklida beriladi. m,n,p, yo’naltiruvchi koeffitsentlarning hammasi bir vaqtda nolga teng bo’lolmaydi,chunki m=0, n=0, p=0 bo’lganda yo’naltiruvchi vektorning o’zi ham nol vektor bo’lib qoladi va bu holda to’g’ri chiziqning fazodagi o’rni aniq bo’lmaydi.

Ammo yo’naltiruvchi koeffitsientlarning ba’zi birlari nolga teng bo’lishi mumkin. Masalan m=0, n ^ 0, p ^ 0 bo’lsin. m=0 bo’lishi yo’naltiruvchi vektor Ox o'qqa perpendikulyar ekanini bildiradi. Bu holda (2) parametrik tenglamalar
^{x  x0  0  t ( yoki x  x0 )}



0
^ y  y  n  t
^z  z  p  t
(2’’)

 ⁰

ko’rinishga keladi; (3) tenglama esa
x  x₀ o
_ y  y₀
n
_ z  z₀
p
(3``) shaklni oladi.

Nolga bo’lish mumkin emasligi bizga ma’lum, shuning uchun (3``) tenlamalarni qanday tushunish kerak? Bu savolga javob berish uchun (2``) tenglamalarni bunday yozamiz:

x  x₀ o
_ y  y_{0 ;}
n
y  y₀ n
_ z  z₀
p
Birinchi tenglamadan. n(x-x₀)=O(y-y₀) yoki x= x₀

Demak, (3``) tenglamalar x= x₀;
y  y₀
n
 ^{z  z0} tenglamalarga aylanadi. Bu
p

tenglamalar yo’naltiruvchi vektori S (o,n,p) bo’lgan to’g’ri chiziq tenglamasini tasvirlaydi. Demak, (3``) tenglamani shartli tenglama deb qarash kerak, u tenglama M₁(x₁,y₁,z₁) nuqtadan o’tib, S {o,n,p} yo’naltiruvchi vektorga parallel to’g’ri chiziqni tasvirlaydi.

Fazodagi ikki to’g’ri chiziqning parallellik va perpendikulyarlik shartlari.

Fazodagi ikki to’g’ri chiziq orasidagi burchak sifatida fazoning istalgan nuqtasidan shu to’g’ri chiziqlarga parallel o’tkazilgan ikki to’g’ri chiziqning tashkil qilgan burchaklaridan istalganini olamiz. Bu burchak O bilan ^ o’rtasida o’zgaradi.

Ikki to’g’ri chiziqning kanonik tenglamalari berilgan bo’lsin:

x  x_{1 } y  y_{1 } z  z_{1 va} x  x_{2 } y  y_{2 } z  z₂
m₁ n₁ p₁ m₂ n₂ p₂
Bu chiziqlar orasidagi burchak bu to’g’ri chiziqlarning yo’naltiruvchi vektorlari S ₁{m₁ ; n₁ ; p₁} va S ₂{m₂ ; n₂ ; p₂} lar orasidagi burchak  ga teng. Ya’ni ikki vektor orasidagi burchakni topish formulasiga ko’ra:

cos  (8)


Agar qaralayotgan to’g’ri chiziqlar bir-biriga parallel bo’lsa,ularning yo’naltiruvchi

S ₁ , S ₂ vektorlar ham parallel, ya’ni parallellik sharti deyiladi.
m_{1 } n_{1 } p₁ m₂ n₂ p₂
(9). Bunga ikki to’g’ri chiziqning

Agar berilgan to’g’ri chiziqlar bir-biriga perpendikulyar bo’lsa, u holda, ularning
S ₁ , S ₂ vektorlari ham bir-biriga perpendikulyar: m₁m₂+ n₁n₂+ p₁p₂=0 (10) bo’ladi.

(10) ga ikki to’g’ri chiziqning perpendikulyarlik sharti deyiladi.

Nuqtadan to’g’ri chiziqqacha bo’lgan va ikki to’g’ri chiziq orasidagi masofalar.

M₁(x₁; y₁; z₁;) nuqtadan
x  x₀ m
_ y  y₀
n
_ z  z₀
p
to’g’ri chiziqqacha bo’lgan eng

qisqa masofani topish uchun bu nuqtadan to’g’ri chiziqqa tushirilgan perpendikulyar bilan to’g’ri chiziq kesishish nuqtasining koordinatalarini topish kerak.

Buning uchun berilgan nuqta orqali berilgan to’g’ri chiziqqa perpendikulyar bo’lgan tekislik o’tkazib, berilgan to’g’ri chiziq bilan unga perpendikulyar bo’lgan tekislikning kesishish nuqtasining koordinatalarini aniqlaymiz.

Berilgan nuqta orqali o’tuvchi tekislik tenglamasi:

A(x-x₁)+ B(y-y₁)+ C(z-z₁)=0 (*)

A,B,C koeffitsentlar bilan bu tekislikka perpendikulyar bo’lgan to’g’ri chiziqning yo’naltiruvchi vektorining koordinatalari orasida A:B:C=m:n:p munosabat mavjud. Bundan foydalansak, (*)ning ko’rinishi quyidagicha bo’ladi:

m(x-x₁)+ n(y-y₁)+ p(z-z₁)=0 Bu tekislik bilan berilgan to’g’ri chiziqning kesishish nuqtasining koordinatalari M₂(x₂; y₂; z₂;) aniqlanadi.

M₁ va M₂ nuqtalar orasidagi masofa berilgan M₁ nuqtadan berilgan to’g’ri chiziqqacha bo’lgan eng qisqa masofadir.

9. 
   misol A(7;9;7) nuqtadan
   

x  2 _ y 1 _ z
to’g’ri chiziqqacha bo’lgan masofani

toping.
4 3 2

Yechish. Berilgan nuqta orqali o’tuvchi tekislik tenglamasi:

A(x-7)+B(y-9)+C(z-7)=0 (*)

A:B:C=4:3:2 munosabatni (*)ga qo’ysak: 4(x-7)+3(x-9)+2(z-7)=0 yoki 4x+3y+2z- 69=0. Bu tekislik bilan berilgan to’g’ri chiziqning kesishish nuqtasining koordinatalarini aniqlaymiz.

Buning uchun berilgan to’g’ri chiziqning kanonik tenglamasini parametrik ko’rinishga keltiramiz, ya’ni x=4t+2, y=3t+1, z=2t (**)
Bu qiymatlarni tekislik tenglamasiga qo’yib, parametr t ning qiymatini aniqlaymiz:

4(4t+2)+3(3t+1)+2^.2t-69=0=> t=2

t ning bu qiymatini (**)ga qo’yib, berilgan to’g’ri chiziq bilan tekislikning kesishish nuqtasini aniqlaymiz: x=10, y=7, z=4 ya’ni B(10;7;4)

A va B nuqtalar orasidagi masofa berilgan A nuqtadan berilgan to’g’ri chiziqqacha bo’lgan eng qisqa masofadir, ya’ni d=|AB|=

Kesishmaydigan
x  x_{1 =} y  y_{1 =} z  z₁
(11)
x  x_{2 =} y  y_{2 =} z  z₂

12. 
    to’g’ri
    

m₁ n₁ p₁ m₂ n₂ p₂
chiziqlar orasidagi eng qisqa masofani topish uchun bu to’g’ri chiziqlarning bir tekislikda yotishi yoki yotmasligini tekshirib ko’riladi.
Agar berilgan to’g’ri chiziqlar bir tekislikda yotmasa, izlanayotgan masofa mos ravishda (11)va (12) to’g’ri chiziqlar orqali o’tuvchi parallel tekisliklar orasidagi eng qisqa masofagan iborat bo’ladi.

Izlanayotgan masofa: determinant yordamida:

^{d } (13)
va vektorial formada esa,

d  (14) formulalar yordamida topiladi.

9. 
   misol. Kesishmaydigan
   

^{x  9} ₌ y  2 ₌ z _va
^x ₌ y  7 ₌ ^{z  2}
to’g’ri chiziqlar

4
orasidagi eng qisqa masofani toping.
 3 1
 2 9 ²

Yechish. Berilgan to’g’ri chiziqlarning bir tekislikka yotish yoki yotmasligini tekshirib ko’ramiz:

x₂  x₁ m₁ m₂
y₂  y₁ n₁
n₂
z₂  z₁
p₁  0
p₂
 9  5
 4  3
 2 9
2
1  245  0
2

Demak, berilgan to’g’ri chiziqlar bir tekislikda yotmaydi. 1-usul. (13) formuladan foydalansak:


d   ²⁴⁵  7
35

2-usul. Agar
r₁ veckor M₁(9;-2;0) nuqtaning radius vektori, r₂
esa

M₂(0;7;2) nuqtaning radius vektori bo’lsa: r₁ - r₂ ={-9;-5;2}

i
So’ngra n₁n₂ = 4
 2


j k
 3 1 =-15 ⁱ -10 j +30 k => n₁n₂  =35,
9 2

(r₂  r₁ )n₁n₂    9;5;2 15;10;30 245
^{(14) formuladan: d= 245}  7
35

TO’G’RI CHIZIQLAR VA TEKISLIK

To’g’ri chiziq va tekisliklar orasidagi burchak, ularning parallellik va perpendikulyarlik shartlari.

Ta’rif. To’g’ri chiziq bilan uning tekislikdagi proeksiyasi tashkil qilgan burchakka to’g’ri chiziq bilan tekislik orasidagi burchak deb ataladi.

Bizga
x  x_{0 =} y  y_{0 =} ^{z  z}₀
to’g’ri chiziq va Ax+By+Cz+D=0 tekislik berilgan

bo’lsin.
m n ^p

21-chizma
To’g’ri chiziq bilan tekislik orasidagi (21-rasm) burchak ^ va yo’naltiruvchi vektor ^s {m,n,p} bilan tekislikning normal vektori ⁿ {A;B;C} orasidagi burchak ^ lar

yig’indisi ^ +^ = ^ bundan ^ =
2
^ -^
2

Ikkinchi tomondan bu vektorlar mos tartibda OR to’g’ri chiziqqa va OP

perpendikulyarga parallel (^ burchak O dan
^ gacha o’zgaradi)
2

Ikki vektor orasidagi burchak kosinusini topish formulasiga ko’ra:

cos  sin  
^{(1) (} 0    ^
2
bo’lgani uchun formula

suratidagi ifodaning absolyut qiymati olinadi).

1. 
   formulaga to’g’ri chiziq bilan tekislik orasidagi burchakni topish formulasi deyiladi.
   

Agar to’g’ri chiziq bilan tekislik bir-biriga parallel bo’lsa, u holda to’g’ri chiziqning yo’naltiruvchi vektori bilan tekislikning normal vektori bir-biriga perpendikulyar bo’ladi, ya’ni Am+Bn+Cp=0 (2)

Agar to’g’ri chiziq tekislikka perpendikulyar bo’lsa, ularning yo’naltiruvchi vektori

bilan normal vektori bir-biriga parallel bo’ladi. Shuning uchun
A _ B _ C
(3)

m n p

2. 
   ga to’g’ri chiziq bilan tekislikning parallellik shari deyilsa,(3)ga perpendikulyarlik sharti deyiladi.
   

Fazodagi to’g’ri chiziq va tekislikka doir ba’zi formulalar.

1. 
   To’g’ri chiziqning umumiy tenglamasi :
   

 ^{A1x  B1 y  C1z  D1  0}
(4)

^A x  B y  C z  D  0
 2 2 2 2


berilgan bo’lsin. Bu holda (4) to’g’ri chiziqning yo’naltiruvchi vektori ^s ni har biri

berilgan to’g’ri chiziqqa perpendikulyar bo’lgan
ⁿ¹ {A₁; B₁; C1) va
ⁿ² {A₂; B₂; C₂) ikki

vektorning vektor ko’paytmasidan hosil bo’lgan [ ^{n1 n2} ] vektor deb qarashmumkin:

i s  [n₁n₂ ]  A₁
A₂


j k
B₁ C₁
B₂ C₂
(5)

2. 
   Berilgan M₁(x₁; y₁; z₁) nuqtadan o’tib, berilgan
   

x  x_{0 =} y  y_{0 =} ^{z  z}₀
to’g’ri

m n ^p

chiziqqa parallel bo’lgan to’g’ri chiziq
x  x_{1 =} y  y_{1 =} ^{z  z}₁

4. 
   formula bilan
   

aniqlanadi.

m n ^p

3. 
   Berilgan M₁(x₁; y₁; z₁) nuqtadan o’tib , berilgan Ax+By+Cz+D=0 tekislikka
   

perpendikulyar bo’lgan to’g’ri chiziqning tenglamasi:
x  x_{1 =} y  y_{1 =} ^{z  z1}

4. 
   

A B ^C

4. 
   Berilgan M₁(x₁; y₁; z₁) nuqtadan o’tib , Ax+By+Cz+D=0 tekislikka parallel bo’lgan hamma to’g’ri chiziqlar geometrik o’rni
   

A(x-x₁)+B(y-y₁)+C(z-z₁)=0 (8) tekislikdan iborat bo’ladi.

5. 
   Berilgan M₁(x₁; y₁; z₁) nuqtadan va berilgan
   

x  x_{0 =} y  y_{0 =} ^{z  z}₀
to’g’ri chiziqdan o’tgan tekislik tenglamasi:

m n ^p

x  x₁ x₀  x₁ m
y  y₁ y₀  y₁ n
z  z₁
z₀  z₁  0
p

(9)

_6. x  x_{1 =} y  y_{1 =} z  z_{1 va} x  x_{2 =} y  y_{2 =} z  z₂
to’g’ri chiziqlarning bir tekislikda

m₁ n₁ p₁ m₂ n₂ p₂

yotish sharti:
x2  x1	y2  y1	z2  z1
m1	n1	p1  0
m2	n2	p2

_7. x  x_{0 =} y  y_{0 =} ^{z  z0}

to’g’ri chiziqning Ax+By+Cz+D=0 tekislikda yotish

sharti:
m n ^p

 ^{Am  Bn  Cp  0}
(11)



0
^Ax  By  Cz  0
0 0

FOYDALANILGAN ADABIYOTLAR

1. 
   T.Jo’raеv va boshqalar “Oliy matеmatika asoslari” , 1-qism, T.1995 “O’zbеkiston”
   
2. 
   Yo.Soatov “Oliy matеmatika” 1-jild, T.1992 “O’qituvchi”
   
3. 
   V.Е.Shnеydеr “Oliy matеmatika qisqa kurs, 1-qism, T.1987 “O’qituvchi”
   
4. 
   X.Latipov, Sh.Tojiеv “Analitik gеomеtriya va chiziqli algеbra”, T.1995 “O’zbеkiston”
   
5. 
   T.Shodiеv “Analitik gеomеtriya va chiziqli algеbra”, T.1984 “O’qituvchi”
   
6. 
   B.A.Abdalimov “Oliy matеmatika” T.1994 “O’qituvchi”