Funksional ketma-ketliklar va ularning yaqinlashuvchanligi

Ta`rif. Agar X to`plamning har bir nuqtasida (5) qator yaqinlashuvchi bo`lsa, u holda (4) funksional qator X to`plamda absolyut yaqinlashuvchi deb ataladi/
Ta`rif. Agar x=x<sub>0</sub> nuqtada (4) qator yaqinlashuvchi bo`lib, (5) qator uzoqlashuvchi bo`lsa, u holda (4) funksional qator x=x<sub>0</sub> nuqtada shakli yaqinlashuvchi deyiladi.
Argument x ning (4) va (5) qatorlar yaqinlashadigan qiymatlari to`plami mos ravishda (4) qatorning yaqinlashish va absolyut yaqinlashish sohasi deyiladi.
Misol. funksional qatorning yaqinlashishi va absolyut yaqinlashish sohasi topilsin.
Yechish. Ma`lumki qator bo`lganda absolyut yaqinlashuvchi, bo`lganda uzoqlashuvchi q=-1 bo`lganda qator shartli yaqinlashuvchi, q=1 bo`lganda uzoqlashuvchi.
Shuning uchun, agar ya`ni bo`lsa, qator absolyut yaqinlashuvchi. Lnx=-1 ya`ni x=e^-1 nuqtada berilgan qator shartli, x ning boshqa qiymatlarida uzoqlashuvchi bo`ladi.
Javob: Berilgan qatorning yaqinlashish sohasi [e^-1,e), absolyut yaqinlashish sohasi (e^-1,e) entervaldan ibotar.
3. Tekis yaqinlashuvchi funksional qatorlar va xossalari
Biror (1) funksional qator berilgan bo`lsin. Bu qator X to`plamda yaqinlashuvchi bo`lib, uning yig`indisi (2) bo`ladi. Limit ta`rifiga ko`ra, son uchun shunday N son topiladiki, barcha n>N uchun (3) tengsizlik bajariladi.
Ma`lumki, X to`plamdan olingan x ning qiymatiga qarab {S<sub>n</sub>(x)} ketma-ketlik turlicha bo`ladi. Binobarn, yuqorida eslatib o`tilgan limit ta`rifidagi N natural son olingan x ga ham bog`liq bo`ladi. Agar bordi-yu ta`rifda N natural son faqat E ga bog`liq bo`lib, qaralayotgan x nuqtaga bog`liq bo`lmasa, u holda {S<sub>n</sub>(x)} funksional ketma-ketlik X to`plamda S(x) ga tekis yaqinlashuvchi deyiladi.
Ta`rif. Agar son olinganda ham shunday natural N son topilsaki, barcha n>N va ixtiyoriy x nuqtalar uchun bir vaqtda tengsizlik bajarilsa, holda (1) funksional qator X to`plamda S(x)ga tekis yaqinlashadi deyiladi.
Ta`rif. Agar qatorning har bir hadi absolyut qiymati bo`yicha hadlari musbat bo`lgan biror yaqinlashuvchi sonli qatorning mos hadidan katta bo`lmasa, bunday qator kuchaytirilgan qator deyiladi.
Teorema. (1) funksional qator X to`plamda S(x)ga tekis yaqinlashishi uchun bo`lishi zarur va yetarli.
Isboti [1], 105-bet.
Tekis yaqinlashish tushunchasi funksional qatorlar nazariyasida muhim rol o`ynaydi. Qo`yida funksional qatorning tekis yaqinlashishini ta`minlaydigan Veyershtrass alomatini isbotsiz keltiramiz.
Veyershtrass alomati. Agar (1) funksional qatorning har bir f<sub>n</sub>(x) hadi X to`plamda (4) tengsizlikni qanoatlantirsa va (5) sonli qator yaqinlashuvchi bo`ladi.
Misol. funksional qator X=(- ) da tekis yaqinlashuvchi bo`ladi, chunki bo`lib, sonli qator yaqinlashuvchi.