Funksional qatorlar. Funksional qatorning tekis yaqinlashishi

Amaliy matematika
Mavzu: Funksional qatorlar
Tuzuvchi: Rahmatullayev Sahobiddin
FUNKSIONAL QATORLAR. FUNKSIONAL QATORNING TEKIS YAQINLASHISHI
funksional qator tushunchasi, tekis yaqinlashuvchi qatorlar, tekis yaqinlashish sharti, tekis yaqinlashuvchi qatorning xossalari
1.Funksional qatorlar. Hadlari funksiyalardan iborat bo‘lgan qatorlarni qaraymiz:
u 1 ( x )  u 2 ( x )  ...  u n ( x )  ...
Bunday qatorlar funksional qatorlar deyiladi, bu yerda
(1)
u 1 ( x ) , u 2 ( x ) , ..., u n ( x ) , ...
funksiyalarning hammasi biror chekli yoki cheksiz oraliqda aniqlangan va uzluksiz funksiyalar.
(1) qatorning dastlabki n ta hadi yig‘indisi
funksiyani (1) qatorning
S n ( x )  u 1 ( x )  u 2 ( x )  ...  u n ( x ) ( n  2 , 3 , ...) va S 1 ( x )  u 1 ( x )
xususiy yig‘indilari deb ataymiz.
Xususiy yig‘indilar {Sn(x)} ketma-ketligini qaraymiz.
Ta’rif. Agar aniqlanish sohasi G to‘plamdan iborat {Sn(x)} funksional ketma-ketlik D
yaqinlashish sohasiga ega bo‘lib, bu sohada biror S(x) funksiyaga yaqinlashsa, ya’ni
qator yaqinlashish sohasi va yig‘indisini toping.
nuqtalarda aniqlanmagan. Shu sababli bu qatorni x   k
tekshiramiz. Qatorning umumiy hadini u n ( x ) 
Shu sababli
deb yozib olish mumkin.
Bundan
.
n
n  
S ( x )  lim S ( x )
1
bo‘lsa, (1) qator D to‘plamda yaqinlashuvchi (har bir nuqtasida), S(x) esa (1) qatorning yig‘indisi deyiladi.
Bu holda
S ( x )  u ( x )  u ( x )  ...  u ( x )  ...
1 2 n
deb yoziladi.

n  1 ( n  x )( n  x  1)
1-misol. 
1
Yechish. u n ( x )  ( n  1, 2 , ...) funksiyalar x=-n va x=-(n+1)
( n  x )( n  x  1)
( k  N ) bo‘lgan nuqtalarda
1
1

n  x n  x  1
1 1
1
 ... 
( n  x )( n  x  1)
1
1 1 1
1
1 1 1
 (
 )  ( 
)  ...  (
 )  
1  x 2  x
2  x 3  x
n  x n  x  1 1  x n  x  1
n
S ( x ) 

(1  x )( 2  x ) ( 2  x )( 3  x )

1 1
1
) 
n  x  1 1  x
n  
lim S n ( x )  lim (
n   1  x

( k  N ) nuqtalarda yaqinlashuvchi bo‘ladi va uning
yig‘indisi ga teng.
Yechish. x argument qiymatini tayinlab olamiz va umumiy hadi
bo‘lgan
yordamchi qatorni qaraymiz. Dalamber alomatiga ko‘ra x ning har bir qiymatida
bo‘ladi, va bundan
qatorning
absolyut yaqinlashuvchi ekanligi kelib chiqadi.
Ixtiyoriy x uchun
bo‘lamiz. Agar x  0 bo‘lsa, u holda bo‘ladi. Demak,
x  0 bo‘lganda qator yaqinlashishining zaruriy sharti bajarilmaydi va qator uzoqlashuvchi
bo‘ladi. Agar x=0 bo‘lsa, u holda u n ( 0 )  0 bo‘lib, qator yig‘indisi
( n  1, 2 ...) , S n ( 0 )  0
faqat bitta, x=0 nuqtadan iborat.
Agar yuqoridagi qatorda x2 o‘rniga x2+4 ni qo‘ysak, u holda umumiy hadi un(x)=n3(x2+4)
qatorga ega bo‘lar edik. Bu qator ega hech bir nuqtada yaqinlashuvchi emas. Uning yaqinlashishi sohasi bo‘sh to‘plamdan iborat.
funksional qatorning yaqinlashish sohasini toping.
Demak, berilgan qator x   k
1
1  x
Funksional qatorlar uchun sonli qatorlarning asosiy xossalaridan kelib chiqadigan quyidagi xossalar o‘rinli:

• Agar (1) qatorning har bir hadini noldan farqli songa yoki (1) qatorning yaqinlashish sohasida noldan farqli qiymat qabul qiladigan funksiyaga ko‘paytirsak, qatorning yaqinlashish sohasi o‘zgarmaydi.
• (1) funksional qatorning bir nechta hadlarini olib tashlash yoki (1) qatorga chekli

x n
sondagi yangi hadlarni qo‘shish ((1) qator yaqinlashish sohasida aniqlangan) natijasida qatorning yaqinlashish sohasi o‘zgarmaydi.

Agar  u n ( x 0 ) qator absolyut yaqinlashsa, u holda (1) qator x0 nuqtada absolyut