Funksional qatorlar. Funksional qatorning tekis yaqinlashishi

u 1 ( x )  u 2 ( x )  ...  u n ( x )  ...
n  1  x
rn ( x ) 
1
n  1
rn ( x ) =0 shartning bajarilishi kelib chiqadi. Demak, qator tekis yaqinlashuvchi bo‘ladi.
3.Tekis yaqinlashuvchi funksional qatorlarning xossalari.
Tekis yaqinlashuvchi funksional qatorlar uchun funksiyalar chekli yig‘indisi xossalarini tatbiq qilish mumkin.
1-teorema. Agar
u 1 ( x )  u 2 ( x )  ...  u n ( x )  ...
funksional qatorning har bir hadi a , b  kesmada uzluksiz bo‘lib, bu funksional qator a , b  kesmada tekis yaqinlashuvchi bo‘lsa, u holda qatorning yig‘indisi S ( x ) ham shu kesmada uzluksiz bo‘ladi.
1
rn ( x ) 



n  1 
n
1 

n 
10-misol. Ushbu   x 2
2
2
2
n
1 

1 
n  x


   lim  x    x n 
n   
lim
n  
n 
x 2
1 

  e  0 ,
n 
Bundan x 2  1 da qator yaqinlashuvchi va chiqadi. x   1 nuqtalarda uzoqlashuvchi, chunki
n
lim  1 
n   
da a   b
n
1
bo‘ladi. U holda x  a lar uchun
2 n
2 n
2 n
n
n 
2

n 
 1 
1 

1 
  x     a    b
 n  

 x 

b 2
Ravshanki,  b 4  b 6  ...  b 2 m  ... qator  a , a  da yaqinlashuvchi (chunki bu
funksional qatorning har bir hadi a , b  kesmada uzluksiz bo‘lib, bu funksional qator a , b 
kesmada tekis yaqinlashuvchi bo‘lsa, u holda
bo‘ladi.
11-misol.
yaqinlashuvchi va uning yig‘indisi
Shunday qilib
(1)
yig‘indisi shu
bo‘ladi.
b b
  u 2 ( x )dx  ...   u n ( x )dx  ...
a a
b b
 S ( x )dx   u 1 ( x )dx
a a
1  х 2  х 4  ...  (  1 ) n x 2 n  ...
funksional qator x  1 da tekis
ga teng. Berilgan qatorni 0 dan x gacha
1
S ( x ) 
1  x 2
(x<1) hadlab integrallaymiz va quyidagi qatorga ega bo‘lamiz :
x 3 x 5 x 2 n  1
x    ...  (  1 ) n  ...
3 5 2 n  1
Bu qator qator x  1 da tekis yaqinlashadi va uning yig‘indisi quyidagiga teng:
x
0
x x
dx
 S ( x ) d x   1  x 2  a rctg x
 a rctg x
0 0
x  1 da tekis yaqinlashuvchi
arctgx  x    ...  (  1 ) n  ...
3 5 2 n  1
qatorga ega bo‘ldik.
3-teorema. (Qatorlarni hadlab differensiallash ) Agar
a , b  kesmada S ' ( x ) hosilaga ega va S ' ( x ) =
x 3 x 5 x 2 n  1

u 1 ( x )  u 2 ( x )  ...  u n ( x )  ...
funksional qatorning har bir hadi a , b  kesmada uzluksiz hosilalarga ega bo‘lib, bu hosilalardan tuzilgan
u 1 ' ( x )  u 2 ' ( x )  ...  u n ' ( x )  ...
qator a , b  kesmada tekis yaqinlashuvchi bo‘lsa, u holda berilgan funksional qatorning S ( x )

n 1
'
n
u ( x )
E’tiboringiz uchun raxmat