Funksional qatorlar. Funksional qatorning tekis yaqinlashishi
Yüklə 96,21 Kb.
|
|
Teorema (Veyershtrass alomati). Agar
u 1 ( x ) u 2 ( x ) ... u n ( x ) ... funksional qatorning hadlari a , b kesmada absolyut qiymati bo‘yicha biror yaqinlashuvchi musbat ishorali с 1 с 2 ... с n ... qatorning mos hadlaridan katta bo‘lmasa , ya’ni bu yerda n - n-xususiy yig‘indi, n esa bu qatorning n-qoldig‘i, ya’ni = , demak, n lim n =0. n va shu sababli (4) ga asosan qaralayotgan sohadan olingan barcha x lar uchun tengsizlik bajariladi. Demak, (1) qator a , b da tekis yaqinlashuvchi bo‘ladi. (2) qator berilgan (1) funksional qator uchun majorant qator deyiladi. Izoh. Teoremada a , b kesma o‘rniga boshqa oraliqni olsak ham, teorema o‘rinli bo‘ladi. 8-misol. Ushbu funksional qatorni tekis yaqinlashishga tekshiring. Yechish. x ning barcha haqiqiy qiymatlari tengsizlik o‘rinli. qator esa yaqinlashuvchi. Demak, Veyershtrass alomatiga ko‘ra berilgan qator (-;+) da tekis yaqinlashadi. 9-misol. n 1 qatorni [0;+) da tekis yaqinlashishga tekshiring. Yechish. х 0 da qator shartli yaqinlashuvchi ekanligini ko‘rish qiyin u n ( x ) c n ( n 1, 2 , 3 , ... ) (3) bo‘lsa, u holda berilgan funksional qator a , b kesmada tekis yaqinlashadi. Isbot. (2) qator yig‘indisini bilan belgilaymiz: = с 1 с 2 U holda = n + n ... с ... n ... = с с (4) n n 1 n 2
n Endi (1) funksional qator yig‘indisini S ( x ) = S n ( x ) + rn ( x ) ko‘rinishda yozamiz, bu yerda S n ( x ) = u 1 ( x ) u 2 ( x ) ... u n ( x ) , rn ( x ) = u n 1 ( x ) u n 2 ( x ) ... u n 1 ( x ) c n 1 , u n 2 ( x ) c n 2 , ... rn ( x ) n ... ... n 3 sin 2 x sin 2 2 x sin 2 nx 13 2 3 1 n 3 n 3 sin 2 nx ... ... 1 13 2 3 n 3 1 1 1 n 1 n x 1 n 1 n 1 n x emas. Bu qator uchun majorant qator yo‘q. Berilgan qatorni tekis yaqinlashuvchi ekanligini ko‘rsatish uchun ta’rifning bajarilishini ko‘rsatishimiz lozim. Buning uchun Leybnis teoremasidan foydalanamiz. Qatorning hadlari х 0 da absolyut qiymatlari bo‘yicha monoton kamayuvchi va n-hadi n da nolga intiladi. Shu sababli, qator [ 0 , ) yarim o‘qda yaqinlashuvchi va qator qoldig‘i uchun tengsizlik o‘rinli. x>0 da ga ega bo‘lamiz, bundan [ 0 , ) oraliqdan olingan ixtiyoriy x uchun lim n qatorning yaqinlashish sohasini toping va yig‘indisini uzluksizlikka tekshiring. Yechish. Berilgan funksional foydalanib topamiz. qatorning yaqinlashish sohasini Koshi alomatidan .
qator yaqinlashishining zaruriy sharti bajarilmaydi. Qator yig‘indisi S(x) ni (-1,1) da uzluksizlikka tekshiramiz. Buning uchun qatorni 0 a 1 bo‘lgan ixtiyoriy a , a kesmada tekis yaqinlashuvchi ekanligini ko‘rsatamiz. 0 a b 1 shartni qanoatlantiruvchi b son olamiz va shunday n0 topiladiki, n n 0 tengsizlik bajariladi. qator mahraji b 2 1 bo‘lgan geometrik progressiya), shu sababli Veyershtrass alomatiga ko‘ra berilgan qator tekis yaqinlashuvchi. Demak, S(x) funksiya a , a kesmada uzluksiz. Tanlashimizga ko‘ra a ( 0 a 1 ) ixtiyoriy, demak, S(x) funksiya (-1,1) da uzluksiz. 2-teorema. (Qatorlarni hadlab integrallash) Agar Yüklə 96,21 Kb. Dostları ilə paylaş:
|